Bài tập 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Giải bài 5 tr 18 sách GK Toán GT lớp 12

Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và  là điểm cực đại.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Phân tích đề & Phương pháp giải:

Đây là bài toán tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.

Với dữ kiện của đề bài, ta nhận định:

- Nếu a=0, hàm số đã cho sẽ trở thành hàm số bậc nhất và không có cực trị.

- Nếu a khác 0, hàm số đã cho là một hàm số bậc ba, ta áp dụng quy tắc 1 để tìm tham số a và b theo yêu cầu bài toán.

Lời giải:

Khai thác dữ kiện đề bài cho ta có lời giải chi tiết bài 5 như sau:

- Với a=0 hàm số trở thành y = -9x+b không có cực trị.

- Với \(a \ne 0\) ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{9}{{5a}}\\ x = \frac{1}{a} \end{array} \right.\)

+ Với a<0 ta có bảng biến thiên:

 Bảng biến thiên câu 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Theo giả thiết  là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=-\frac{9}{5}.\) 

Giá trị cực tiểu là số dương nên:

\(y_{CT}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.\)

+ Với a<0 ta có bảng biến thiên:

Bảng biến thiên bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Vì   là điểm cực đại nên 

Giá trị cực tiểu là số dương nên:

\({y_{CT}} = y\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{5}{{3a}} + \frac{2}{a} - \frac{9}{a} + b > 0\)\(\small \Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\)

Vậy các giá trị a, b cần tìm là:  hoặc .

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5 trang 18 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ