Bài tập 4 trang 18 SGK Giải tích 12

Phân tích đề & Phương pháp giải:

Hàm số bậc ba: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,(a \ne 0)\) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)

Khi đó y' luôn đổi dấu khi đi qua 2 điểm \(x_1;x_2.\)

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Xét phương trình: \(3a{x^2} + 2bx + c=0\)

Biệt thức: \(\Delta {'_{y'}} = {b^2} - 3ac\)

Như vậy với bài 4, ta chỉ cần chứng minh \(\Delta {'_{y'}} = {b^2} - 3ac>0\) với mọi m.

Lời giải:

Áp dụng, ta có lời giài chi tiết bài 4 như sau:

Xét hàm số \(y = x^3 - mx^2 - 2x + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

\(y' = 3{x^2} - 2mx - 2\), \(\Delta {'_{y'}} = {m^2} + 6 > 0,\forall m\) nên phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

-- Mod Toán 12 HỌC247