Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12

Giải bài 3 tr 18 sách GK Toán GT lớp 12

Chứng minh rằng hàm số  không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Phân tích đề bài:

Trước khi giải bài 3, chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa về cực trị:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):

  • Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\)
  • Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)<f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\).

Từ định nghĩa ta thấy được rằng nếu hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) thì vẫn có thể đạt cực trị tại điểm đó. Bài 3 là một ví dụ chứng minh cho nhận xét trên đây.

Trước tiên, ta cần ôn lại cách chứng minh hàm số không có đạo hàm tại một điểm đã học trong chương trình lớp 11, phương pháp cụ thể được trình bày trong lời giải chi tiết sau đây, còn việc chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x=0 ta chỉ cần áp dụng kiến thức từ nội dung bài vừa học là có thể làm được.

Lời giải:

Xét hàm số 

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=0, ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\) không hữu hạn.

Để điều này xảy ra ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\) không hữu hạn.

Thật vây:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty .\)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Chứng minh hàm số có cực trị tại x=0.

Xét hàm số 

\(y' = \frac{{\left| x \right|'}}{{2\sqrt {\left| x \right|} }} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\sqrt x }},\,x > 0\\ - \frac{1}{{2\sqrt { - x} }},\,x < 0 \end{array} \right.\)

Dễ thấy y' không xác định tại x=0.

Xét dấu y':

Bảng xét dấu y' bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ