Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12

Xét hàm số \(y = \sqrt {\left| x \right|} \)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

+ Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x = 0,

ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\) không hữu hạn.

Để điều này xảy ra ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\) 

không hữu hạn.

Thật vây:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty .\)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số có cực trị tại x = 0.

Xét hàm số \(y = \sqrt {\left| x \right|} \)

\(y' = \frac{{\left| x \right|'}}{{2\sqrt {\left| x \right|} }} \)

\(= \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\sqrt x }},\,x > 0\\ - \frac{1}{{2\sqrt { - x} }},\,x < 0 \end{array} \right.\)

Dễ thấy y' không xác định tại x = 0.

Xét dấu y':

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

-- Mod Toán 12 HỌC247