Bài tập 1 trang 18 SGK Giải tích 12

Phương pháp giải:

Để giải bài 1 các em cần ôn lại các bước tìm cực trị bằng quy tắc 1:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Lời giải:

Áp dụng các bước trên ta tiến hành giải các câu a, b, c, d, e của bài 1 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 10\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Ta có đạo hàm: \(y' = 6{x^2} + 6x - 36\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 3 \end{array} \right.\)

Với x=2 ta có y=-54.

Với x=-3 ta có y=71.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=-3, giá trị cực đại y_cđ = y(-3) = 71.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , giá trị cực tiểu y_ct=y(2) =- 54.

Câu b:

Xét hàm số \(y = x^4+ 2x^2 - 3\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = 4{x^3} + 4x = 4x({x^2} + 1)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Với x=0 ta có y=-3.

Bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu y_ct=y(0)=- 3.

Hàm số không có cực đại.

Câu c:

Xét hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(y'=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Với x=1 ta có y=2.

Với x=-1 ta có y=-2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại y_cđ = y(-1) = -2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_ct = y(1) = 2.

Câu d:

Xét hàm số \(y = x^3(1 - x)^2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2}{(1 - x)^2} - 2{x^3}(1 - x) \)

\(= {x^2}(1 - x)(3 - 5x)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{3}{5}\\ x = 0 \end{array} \right.\)

Với \(x=1\) ta có \(y=0.\)

Với \(x=\frac{3}{5}\) ta có \(y=\frac{108}{3125}.\)

Với x=0 ta có \(y=0.\)

Bảng biến thiên: 

Hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{3}{5},\) giá trị cực đại \(y_{cd} =y\left ( \frac{3}{5} \right )\frac{108}{3125}.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1,\) giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y(1)=0.\)

Câu e:

Xét hàm số \(y = \sqrt {x^2-x+1}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:

\({y' = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}}\)

\({y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}}\)

Với \(x=\frac{1}{2}\) ta có \(y=\frac{\sqrt 3}{2}\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{1}{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{\sqrt 3}{2}.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247