Giải bài 2 tr 18 sách GK Toán GT lớp 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = x^4 - 2x^2 + 1\).
b) \(y=\sin {2x} - x\).
c) \(y = sinx + cosx\).
d) \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\).
Hướng dẫn giải chi tiết bài 2
Nhận xét & Phương pháp giải:
Với những hàm số dễ dàng xét dấu của đạo hàm để lập bảng biến thiên ta thường dùng quy tắc I. Tuy nhiên trong quá trình tìm cực trị của hàm số các em sẽ gặp những hàm số mà việc xác định dấu của đạo hàm rất phức tạp thì chúng ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc II để tìm cực trị.
Trước khi giải bài 2, các em cần nắm được các bước đề tìm cực trị bằng quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm của phương trình \(f'(x)=0\).
Bước 3: Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .
Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .
Lời giải:
Áp dụng các bước trên, ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:
Câu a:
Xét hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm:
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
\(y'' = 12{x^2} - 4\)
Ta có:
+ Với x = 0: \(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại yCĐ = y(0) = 1.
+ Với x = -1 và x = 1:
\(y''(-1)=y''(1)=8>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x= \pm1\), giá trị cực tiểu
\(y_{CT}=y(-1)=y(1)=0.\)
Câu b:
Xét hàm số \(y = sin2x – x\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).
\(y' = 2cos2x - 1\).
\(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi , k \in \mathbb{Z}.\)
Đạo hàm cấp hai: \(y'' = -4sin2x .\)
Ta có:
+ Với \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\):
\(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) \)
\(= - 2\sqrt 3 < 0\)
Nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\).
Giá trị cực đại:
\({y_{CD}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) - \frac{\pi }{6} - k\pi \)
\(= \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
+ Với \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\):
\(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\)
\(= 2\sqrt 3 > 0\)
Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\).
Giá trị cực tiểu:
\({y_{ct}} = \sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) + \frac{\pi }{6} - k\pi \)
\(= - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in\mathbb{Z}.\)
Câu c:
Xét hàm số \(y = sinx + cosx\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = \cos x - \sin x\).
\(\begin{array}{l} y' = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}. \end{array}\)
Đạo hàm cấp 2: \(y''=-sinx-cosx.\)
+ Với \(k=2m \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:
\(y''\left( {\frac{\pi }{4} + 2m\pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4}\)
\(= - \sqrt 2 < 0.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm
\(x = \frac{\pi }{4} + 2m\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)
+ Với \(k=2m+1 \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:
\(y''\left( {\frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{4}\)
\(= \sqrt 2 > 0.\)
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
\(x = \frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)
Câu d:
Xét hàm số \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = 5{x^4} - 3{x^2} - 2\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
(Đặt \(t=x^2>0\), giải phương trình bậc hai tìm được \(x^2\)).
Đạo hàm cấp hai:\(y''=20x^3-6x.\)
Với x = 1 ta có: y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu yct = y(1) = -1.
Với x = -1 ta có: y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại ycđ = y(-1) = 3.
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Tìm cực trị của hàm số sau: \(f(x) = {{{x^2} + 8x - 24} \over {{x^2} - 4}}\).
bởi Mai Hoa
03/06/2021
Tìm cực trị của hàm số sau: \(f(x) = {{{x^2} + 8x - 24} \over {{x^2} - 4}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm cực trị hàm số sau: \(f(x) = - 5{x^3} + 3{x^2} - 4x + 5\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số sau \(y = {x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2}\). Khoảng cách \(d\) giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là đáp án?
bởi Hoàng giang
02/06/2021
A. \(d = 2\sqrt 5 \)
B. \(d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\)
C. \(d = \sqrt 5 \)
D. \(d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau có cực trị: \(y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 3} \right)x - 5\).
bởi Aser Aser
03/06/2021
A. \(m \ge 0\)
B. \(m \in \mathbb{R}\)
C. \(m < 0\)
D. \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau không có cực trị: \(y = \dfrac{1}{3}m{x^3} + m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2\).
bởi Lê Chí Thiện
03/06/2021
A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 2\)
B. \(m \ge 0\)
C. \(0 \le m \le 2\)
D. \(m \in \left[ {0; + \infty } \right)\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số sau \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\). Cho biết khẳng định nào sau đây đúng?
bởi Minh Tú
02/06/2021
A. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
B. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
C. Hàm số chỉ có một điểm cực tiểu.
D. Hàm số chỉ có một điểm cực đại.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 2mx + 5}}{{x - m}}\) có cực trị:
bởi Tuyet Anh
03/06/2021
A. \(m > \sqrt 5 \)
B. \(m < - \sqrt 5 \)
C. \(m = \sqrt 5 \)
D. \( - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) có cực trị:
bởi con cai
02/06/2021
A. \(m = 3\)
B. \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\)
C. \(m < 3\)
D. \(m > 3\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
A. \(0\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho biết hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^3}\left( {5 - x} \right)\) có mấy điểm cực trị?
bởi Pham Thi
03/06/2021
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau không có cực trị: \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\).
bởi Tieu Giao
03/06/2021
Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau không có cực trị: \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng hàm số: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x,\forall x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2},\forall x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
bởi Hoàng giang
02/06/2021
Chứng minh rằng hàm số: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x,\forall x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2},\forall x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Xác định m để hàm số sau: \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \dfrac{2}{3}} \right)x + 5\) có cực trị tại \(x = 1\). Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.
bởi thanh duy
02/06/2021
Xác định m để hàm số sau: \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \dfrac{2}{3}} \right)x + 5\) có cực trị tại \(x = 1\). Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau \(y = {x^3} - 2{x^2} + mx + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
bởi Ngoc Son
02/06/2021
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau \(y = {x^3} - 2{x^2} + mx + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 1 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.17 trang 15 SBT Toán 12
Bài tập 1.18 trang 15 SBT Toán 12
Bài tập 1.19 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.20 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.21 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.22 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.24 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.23 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.25 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.26 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.27 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.28 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.29 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.30 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.31 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.32 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.33 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 11 trang 16 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 12 NC