Giải bài 2 tr 18 sách GK Toán GT lớp 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = x^4 - 2x^2 + 1\).
b) \(y=\sin {2x} - x\).
c) \(y = sinx + cosx\).
d) \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\).
Hướng dẫn giải chi tiết bài 2
Nhận xét & Phương pháp giải:
Với những hàm số dễ dàng xét dấu của đạo hàm để lập bảng biến thiên ta thường dùng quy tắc I. Tuy nhiên trong quá trình tìm cực trị của hàm số các em sẽ gặp những hàm số mà việc xác định dấu của đạo hàm rất phức tạp thì chúng ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc II để tìm cực trị.
Trước khi giải bài 2, các em cần nắm được các bước đề tìm cực trị bằng quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm của phương trình \(f'(x)=0\).
Bước 3: Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .
Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .
Lời giải:
Áp dụng các bước trên, ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:
Câu a:
Xét hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm:
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
\(y'' = 12{x^2} - 4\)
Ta có:
+ Với x = 0: \(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại yCĐ = y(0) = 1.
+ Với x = -1 và x = 1:
\(y''(-1)=y''(1)=8>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x= \pm1\), giá trị cực tiểu
\(y_{CT}=y(-1)=y(1)=0.\)
Câu b:
Xét hàm số \(y = sin2x – x\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).
\(y' = 2cos2x - 1\).
\(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi , k \in \mathbb{Z}.\)
Đạo hàm cấp hai: \(y'' = -4sin2x .\)
Ta có:
+ Với \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\):
\(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) \)
\(= - 2\sqrt 3 < 0\)
Nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\).
Giá trị cực đại:
\({y_{CD}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) - \frac{\pi }{6} - k\pi \)
\(= \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
+ Với \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\):
\(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\)
\(= 2\sqrt 3 > 0\)
Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\).
Giá trị cực tiểu:
\({y_{ct}} = \sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) + \frac{\pi }{6} - k\pi \)
\(= - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in\mathbb{Z}.\)
Câu c:
Xét hàm số \(y = sinx + cosx\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = \cos x - \sin x\).
\(\begin{array}{l} y' = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}. \end{array}\)
Đạo hàm cấp 2: \(y''=-sinx-cosx.\)
+ Với \(k=2m \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:
\(y''\left( {\frac{\pi }{4} + 2m\pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4}\)
\(= - \sqrt 2 < 0.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm
\(x = \frac{\pi }{4} + 2m\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)
+ Với \(k=2m+1 \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:
\(y''\left( {\frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{4}\)
\(= \sqrt 2 > 0.\)
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
\(x = \frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)
Câu d:
Xét hàm số \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = 5{x^4} - 3{x^2} - 2\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
(Đặt \(t=x^2>0\), giải phương trình bậc hai tìm được \(x^2\)).
Đạo hàm cấp hai:\(y''=20x^3-6x.\)
Với x = 1 ta có: y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu yct = y(1) = -1.
Với x = -1 ta có: y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại ycđ = y(-1) = 3.
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm điểm cực trị của hàm số sau: \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1}\)
bởi Huong Duong
28/02/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm điểm cực trị của hàm số sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)^{2}}\).
bởi Lan Ha
01/03/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm điểm cực trị của hàm số sau: \(y = x + {1 \over x}\)
bởi Lê Văn Duyệt
28/02/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm điểm cực trị của hàm số sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3\)
bởi Thành Tính
01/03/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm điểm cực trị của hàm số sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}36x{\rm{ }}-{\rm{ }}10\).
bởi Nguyễn Thủy
01/03/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số: \(f(x) = \,x({x^2} - 3)\).
bởi Lan Anh
01/03/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?
bởi Nhật Nam
01/03/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giả sử f(x) đạt cực đại tại \(x_0\). Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số \({{f({x_0} + \Delta x) - \,f({x_0})} \over {\Delta x}}\) khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.
bởi Bùi Anh Tuấn
01/03/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy chỉ ra các điểm tại đó hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất): \(\displaystyle y = {{x{{(x + 3)}^2}} \over 3}\) trong các khoảng \(\displaystyle ({1 \over 2};\,{3 \over 2})\) và \(\displaystyle ({3 \over 2};\,4)\)
bởi Minh Tuyen
01/03/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy chỉ ra các điểm tại đó hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất): \(\displaystyle y = - {x^2} + 1\) trong khoảng \(\displaystyle \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
bởi can tu
01/03/2021
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
BT câu 1, 2 ạTheo dõi (1) 9 Trả lời