Bài tập 2 trang 17 SGK Hình học 10

Giải bài 2 tr 17 sách GK Toán Hình lớp 10

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\), theo hai vectơ sau \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Do tính chất trung điểm nên từ giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \\2\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA}  = 2\vec u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = 2\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Mặt khác, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA} \)

\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = \vec 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\((\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA} ) + ( - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) = 2\vec u + 2\vec v\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = 2\vec u + 2\vec v\)

\( \Leftrightarrow  - \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BC}  = 2\vec u + 2\vec v\) (4)

Từ (2) và (3) ta có:

\( - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = 2\vec v\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = 2\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\)

Từ (4) và (5) suy ra:

\( - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = 2\vec u + 2\vec v + 2\vec v\)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {BC}  = 2\vec u + 4\vec v \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\)

Từ (5) và (6) ta có:

\(\frac{4}{3}\vec u + \frac{8}{3}\vec v\, + \overrightarrow {CA}  = 2\vec v \Rightarrow \overrightarrow {CA}  =  - \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)\)

Từ (7) và (1), ta có được:

\(\overrightarrow {AB}  + \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v = 2\vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)

Kết luận:

\(\overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)

\(\overrightarrow {BC}  = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v\)

\(\overrightarrow {CA}  =  - \frac{4}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)

-- Mod Toán 10 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 2 trang 17 SGK Hình học 10 HAY thì click chia sẻ 
  • minh thuận

    Câu 1 : Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm G. Khi đó \(\overrightarrow{BG}\) =

    A. \(\overrightarrow{BA}\) + \(\overrightarrow{BC}\)

    B. \(\dfrac{1}{2}\) . ( \(\overrightarrow{BA}\) + \(\overrightarrow{BC}\) )

    C. \(\dfrac{1}{3}\) . \(\overrightarrow{BA}\) + \(\overrightarrow{BC}\)

    D. \(\dfrac{1}{3}\) . ( \(\overrightarrow{BA}\) + \(\overrightarrow{BC}\) )

    Câu 2 : Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm CM. Đẳng thức nào sau đây đúng ?

    A. \(\overrightarrow{DA}\) + \(\overrightarrow{DB}\) + 2. \(\overrightarrow{DC}\) = 0

    B. \(\overrightarrow{DA}\) + \(\overrightarrow{DC}\) + 2. \(\overrightarrow{DB}\) = 0

    C. \(\overrightarrow{DA}\) + \(\overrightarrow{DB}\) + 2. \(\overrightarrow{CD}\) = 0

    D. \(\overrightarrow{DC}\) + \(\overrightarrow{DB}\) + 2. \(\overrightarrow{DA}\) = 0

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Hoai Hoai

    cho ngũ giác ABCDE . Chứng minh :

    a) vecto AB + vecto CD = vecto AE - vecto BC - vecto DE

    b) vecto AB = vecto AC - vecto DC - vecto BE - vecto ED

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Truc Ly

    Cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:

    \(\left|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • thùy trang

    Cho lục giác đều ABCDEF có M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,CD,EF
    a. Chứng minh : vt IM + vt IN + vt IP=1/2(vt IA + vt IB + vt IC + vt ID + vt IE + vt IF) với mọi I
    b. Tìm G để vt GA + vt GB + vt GC + vt GD + vt GE + vt GF=vt 0
    c. Gọi G1,G2,G3,G4,G5,G6 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC , tam giác DEF , tam giác BCD , tam giác EFA , tam giác CDE , tam giác FAB. Chứng minh G1G2 , G3G4 , G5G6 đồng

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • thu phương

    Các bạn làm ơn giúp mình câu này với: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa:

    \(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

    \(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời