Cho tam giác \(ABC\) và đường thẳng \(d\). Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(d\) sao cho vec tơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} \) có độ dài nhỏ nhất.

Với mọi điểm \(O\) ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} \\ = \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM}  \\+ 2(\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OM} )\\= \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  - 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)

Ta chọn điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \).

(Chú ý rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì

\(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OC}\)

\(  = 3\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OC} \)

\( = 4\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC} \). Bởi vậy để \(\overrightarrow v  = \overrightarrow 0 \), ta chọn điểm O sao cho \(\overrightarrow {GO}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {GC} \)).

Khi đó, \(\overrightarrow u  =  - 4\overrightarrow {OM} \) và do đó \(|\overrightarrow u | = 4OM\). Độ dài vec tơ \(\overrightarrow u \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(4OM\) nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(d.\)