Phần hướng dẫn giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 3 Tích của vectơ với một số sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
-
Bài tập 1 trang 17 SGK Hình học 10
Cho hình bình hành ABCD. Chứng mỉnh rằng:
\(\overrightarrow{AB}\) \(+\) \(\overrightarrow{AC}\) \(+\) \(\overrightarrow{AD}\) \(=2\overrightarrow{AC}\).
-
Bài tập 2 trang 17 SGK Hình học 10
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\), theo hai vectơ sau \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}\).
-
Bài tập 3 trang 17 SGK Hình học 10
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho \( \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}\).
-
Bài tập 4 trang 17 SGK Hình học 10
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:
a) \(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)
b) \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý.
-
Bài tập 5 trang 17 SGK Hình học 10
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
-
Bài tập 6 trang 17 SGK Hình học 10
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\).
-
Bài tập 7 trang 17 SGK Hình học 10
Cho tam giác ABC. Tìm điểm m sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
-
Bài tập 8 trang 17 SGK Hình học 10
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
-
Bài tập 9 trang 17 SGK Hình học 10
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} =\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)
-
Bài tập 1.20 trang 31 SBT Hình học 10
Tìm giá trị của m sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \);
b) \(\overrightarrow a = - \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \);
c) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\);
d) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\);
e) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \);
g) \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \);
h) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
-
Bài tập 1.21 trang 35 SBT Hình học 10
Chứng minh rằng:
a) Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \);
b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) và m ≠ 0 thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \);
c) Nếu \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) thì m = n.
-
Bài tập 1.22 trang 31 SBT Hình học 10
Chứng minh rằng tổng của n véc tơ \(\overrightarrow a \) bằng \(n\overrightarrow a \) (n là số nguyên dương).
-
Bài tập 1.23 trang 31 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
-
Bài tập 1.24 trang 31 SBT Hình học 10
Cho hai tam giác ABC và A′B′C′. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0\) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.
-
Bài tập 1.25 trang 31 SBT Hình học 10
Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Dựng các vec tơ:
a) \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b \)
b) \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)
c) \( - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b \)
-
Bài tập 1.26 trang 31 SBT Hình học 10
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.
a) Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AD} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} \).
b) Tính độ dài của vec tơ \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) theo aa.
-
Bài tập 1.27 trang 31 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC có trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \) (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
-
Bài tập 1.28 trang 32 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AK} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
-
Bài tập 1.29 trang 32 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC. Dựng \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA'} = \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {CA} \).
a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B′C′.
b) Chứng minh các đường thẳng AA′, BB′ và CC′ đồng quy.
-
Bài tập 1.30 trang 32 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho \(CI = \frac{1}{4}CA\), J là điểm mà \(\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).
a) Chứng minh \(\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.
-
Bài tập 1.31 trang 32 SBT Hình học 10
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \).
-
Bài tập 1.32 trang 32 SBT Hình học 10
Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ} \).
-
Bài tập 1.33 trang 32 SBT Hình học 10
Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
-
Bài tập 1.34 trang 32 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \).
b) Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
-
Bài tập 1.35 trang 32 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} ;\\
\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \\
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}
\end{array}\)c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G.
-
Bài tập 21 trang 23 SGK Hình học 10 NC
Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. Hãy dựng các vec tơ sau đây và tính độ dài của chúng
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ;\\
\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ;\\
3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} ;\\
\frac{{21}}{4}\overrightarrow {OA} + 2,5\overrightarrow {OB} ;\\
\frac{{11}}{4}\overrightarrow {OA} - \frac{3}{7}\overrightarrow {OB} .
\end{array}\) -
Bài tập 22 trang 24 SGK Toán 10 NC
Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \\
\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \\
\overrightarrow {MB} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB.}
\end{array}
\end{array}\) -
Bài tập 23 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
-
Bài tập 24 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Cho tam giác ABC và điểm G. Chứng minh rằng
a) Nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm tam giác ABC;
b) Nếu có điểm O sao cho \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\) thì G là trọng tâm tam giác ABC.
-
Bài tập 25 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow b = \overrightarrow {GB} \). Hãy biểu thị mỗi vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) qua các vec tơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\)
-
Bài tập 26 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Chứng minh rằng nếu G và G′ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A′B′C′ thì
\(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \)
Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A′B′C′ có trọng tâm trùng nhau.
-
Bài tập 27 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau.
-
Bài tập 28 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
a) Có một điểm G duy nhất sao cho \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\). Điểm G như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D. Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi G là trọng tâm của từ giác ABCD.
b) Trọng tâm G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.
c) Trọng tâm G nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.
