YOMEDIA
UREKA

Bài tập 8 trang 17 SGK Hình học 10

Giải bài 8 tr 17 sách GK Toán Hình lớp 10

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 8

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Tương tự ta có:        

\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr& = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0  \cr} \)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MPR\), ta có:

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 (2)\)

Mặt khác : 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS} \)\( = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG} } \right)  \) \( + (\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS}) \)

\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \) \( = \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \)

(vì \(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG}  \) \(=  - \overrightarrow {GM}  - \overrightarrow {GP}  - \overrightarrow {GR}  \) \(=  - \left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right) = \overrightarrow 0 \))

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}\) \(  = \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \)

Mà \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\) nên 

\(\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)

Cách khác:

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR \( \Rightarrow \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 \)

Ta cần chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh \( \Rightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)

Thật vậy ta có:

\(\begin{array}{l}2\left( {\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GN}  + 2\overrightarrow {GQ}  + 2\overrightarrow {GS} \\ = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {GE} } \right) + \left( {\overrightarrow {GF}  + \overrightarrow {GA} } \right)\end{array}\)

(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)

\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {\overrightarrow {GE}  + \overrightarrow {GF} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GM}  + 2\overrightarrow {GP}  + 2\overrightarrow {GR} \end{array}\)

(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right)\\ = 2\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Do đó G cũng là trọng tâm của ΔNQS.

Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.

-- Mod Toán 10 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 8 trang 17 SGK Hình học 10 HAY thì click chia sẻ 
ADMICRO

 

YOMEDIA
OFF