AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A,
    B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng

    • A. \(\sqrt 6 \)
    • B. \(2\sqrt 3 \)
    • C. 2
    • D. \(2\sqrt 2 \)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    \(\left( C \right):y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = 1 - \frac{3}{{x + 2}}\).

    I(-2; 1) là giao điểm hai đường tiệm cận của (C).

    Ta có: \(A\left( {a;1 - \frac{3}{{a + 2}}} \right) \in \left( C \right),B\left( {b;1 - \frac{3}{{b + 2}}} \right) \in \left( C \right)\).

    \(\overrightarrow {IA}  = \left( {a + 2; - \frac{3}{{a + 2}}} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( {b + 2; - \frac{3}{{b + 2}}} \right)\).

    Đặt \({a_1} = a + 2,{b_1} = b + 2\left( {{a_1} \ne 0,{b_1} \ne 0,{a_1} \ne {b_1}} \right)\)

    Tam giác ABI đều khi và chỉ khi

    \(\left\{ \begin{array}{l}
    I{A^2} = I{B^2}\\
    \cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right) = \cos 60^\circ 
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}} = b_1^2 + \frac{9}{{b_1^2}}\\
    \frac{{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} }}{{IA.IB}} = \frac{1}{2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}} = b_1^2 + \frac{9}{{b_1^2}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
    \frac{{{a_1}{b_1} + \frac{9}{{{a_1}{b_1}}}}}{{a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}}}} = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
    \end{array} \right.\).

    Ta có (1) \( \Leftrightarrow a_1^2 - b_1^2 + 9\left( {\frac{1}{{a_1^2}} - \frac{1}{{b_1^2}}} \right) = 0 \Leftrightarrow a_1^2 - b_1^2 - 9\left( {\frac{1}{{b_1^2}} - \frac{1}{{a_1^2}}} \right) = 0\)

    \( \Leftrightarrow a_1^2 - b_1^2 - 9\left( {\frac{{a_1^2 - b_1^2}}{{a_1^2b_1^2}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a_1^2 - b_1^2} \right)\left( {1 - \frac{9}{{a_1^2b_1^2}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    a_1^2 = b_1^2\\
    a_1^2b_1^2 = 9
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {a_1} = {b_1}\\
    {a_1} =  - {b_1}\\
    {a_1}{b_1} = 3\\
    {a_1}{b_1} =  - 3
    \end{array} \right.\).

    Trường hợp a1 = b1 loại vì \[( \equiv /B,{a_1} =  - {b_1},{a_1}{b_1} =  - 3\) (loại vì không thỏa (2)).

    Do đó \({a_1}{b_1} = 3\), thay vào (2) ta được \(\frac{{3 + \frac{9}{3}}}{{a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}} = 12\).

    Vậy \(AB = IA = \sqrt {a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}}}  = 2\sqrt 3 \)

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>