AMBIENT
  • Câu hỏi:

     Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB' bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB' và CC' lần lượt bằng 1 và \(\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A'B'C) là trung điểm M  của B'C' và \(A'M = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

    • A. 2
    • B. 1
    • C. \(\sqrt 3 \)
    • D. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Gọi N là trung điểm BC. Kẻ \(AE \bot BB'\) tại E, \(AF \bot CC'\) tại F.

    Ta có \(EF \cap MN = H\) nên H là trung điểm EF.

    Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
    AE \bot AA'\\
    AF \bot AA'
    \end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow AA' \bot EF \Rightarrow EF \bot BB'\).

    Khi đó \(d\left( {A,BB'} \right) = AE = 1,d\left( {A,CC'} \right) = AF = \sqrt 3 ,d\left( {C,BB'} \right) = EF = 2\).

    Nhận xét: \(A{E^2} + A{F^2} = E{F^2}\) nên tam giác AEFF vuông tại A, suy ra \(AH = \frac{{EF}}{2} = 1\).

    Ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}
    AA' \bot \left( {AEF} \right)\\
    MN//AA'
    \end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MN \bot AH\).

    Tam giác AMN vuông tại A có đường cao AH nên \(\frac{1}{{A{M^2}}}\) \( = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{N^2}}} = 1 - \frac{3}{4} \Rightarrow AM = 2\).

    Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}
    \left( {AA'NM} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\
    \left( {AA'NM} \right) \bot \left( {AEF} \right)\\
    \left( {AA'NM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AN\\
    \left( {AA'NM} \right) \cap \left( {AEF} \right) = AH
    \end{array} \right. \Rightarrow \) Góc giữa mặt phẳng (ABC) và (AEF) là \(\widehat {HAN}\).

    Hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng (AEF) là tam giác AEF nên \({S_{\Delta AEF}} = {S_{\Delta ABC}}.\cos \widehat {HAN} \Rightarrow \frac{1}{2}AE.AF = {S_{\Delta ABC}}.\frac{{AH}}{{AN}} \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{AE.AF.AN}}{{AH}} = \frac{1}{2}.\frac{{1.\sqrt 3 .\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}}{1} = 1\).

    Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AM = 2\).

     

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>