RANDOM
  • Câu hỏi:

    Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn \({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) = 2\). Giá trị của a + 2b bằng

    • A. 6
    • B. 9
    • C. 7/2
    • D. 5/2

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Ta có a > 0, b > 0 nên \(\left\{ \begin{array}{l}
    3a + 2b + 1 > 1\\
    9{a^2} + {b^2} + 1 > 1\\
    6ab + 1 > 1
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) > 0\\
    {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) > 0
    \end{array} \right.\).

    Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta được

    \({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) \ge 2\sqrt {{{\log }_{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {{\log }_{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right)} \)

    \(\begin{array}{l}
     \Leftrightarrow 2 \ge 2\sqrt {{{\log }_{6ab + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right)}  \Leftrightarrow {\log _{6ab + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) \le 1 \Leftrightarrow 9{a^2} + {b^2} + 1 \le 6ab + 1\\
     \Leftrightarrow {\left( {3a - b} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow 3a = b
    \end{array}\).

    Vì dấu “=” đã xảy ra nên

    \({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) = {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _{3b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = {\log _{2{b^2} + 1}}\left( {3b + 1} \right)\)

    \( \Leftrightarrow 2{b^2} + 1 = 3b + 1 \Leftrightarrow 2{b^2} - 3b = 0 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}\) (vì b > 0). Suy ra \(a = \frac{1}{2}\).

    Vậy \(a + 2b = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}\)

    RANDOM

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>