Bài tập 62 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

a) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta ' \ge 0)\)

b) Hệ thức Vi-et: Với \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\left( {a \ne 0} \right)\) thì 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Biến đổi \(x_1^2+x_2^2\) để sử dụng được hệ thức Vi-ét.

Lời giải chi tiết

Xét phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2 = 0\) (1)

a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta’ ≥ 0\)

Ta có: \(\Delta’ = (m – 1)^2 – 7(-m^2) = (m – 1)^2 + 7m^2 ≥ 0\) với mọi \(m\)

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\)

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

\(\eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{x_2} \cr
& = \left[ {{{ - 2{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over 7}} \right] - 2{{{{ { - m} }^2}} \over 7} \cr
& = {{4{m^2} - 8m + 4} \over {49}} + {{2{m^2}} \over 7} \cr
& = {{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}} \over {49}} \cr
& = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}} \cr} \) 

Vậy \(x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}\) .

-- Mod Toán 9 HỌC247