Hình học 10 Chương 1 Bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ

5 trắc nghiệm 10 bài tập SGK

Bài giảng Tổng và hiệu hai vectơ giúp các em nắm được cách xác định tổng, hiệu hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, các tính chất của tổng véctơ, tính chất của véctơ - không.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa tổng của hai vectơ

Chúng ta cùng đi sang bài toán minh họa sau:

tổng của hai vectơ

Hình trên mô tả cách cộng hai vectơ.

Không như cộng đại số các đoạn thẳng, khi cộng hai vectơ, đầu tiên ta xác định ngọn của một vectơ, rồi từ đó, ta dựng giá của vectơ thứ hai đi qua ngọn của vectơ đầu tiên. 

Sau đó, ta dùng tính chất hai vectơ bằng nhau để ta chập ngọn của vectơ thứ nhất với gốc của vectơ tứ hai.

Sau cùng ta nối gốc của vectơ thứ nhất với ngọn của vectơ bằng với vectơ thứ hai để được tổng hai vectơ.

  • Định nghĩa:
    • Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Lấy một điểm A nào đó, rồi xác định điểm B và C sao cho \(\vec {AB}=\vec {a}\); \(\vec {BC}=\vec {b}\). Khi đó \(\vec {AC}\) là tổng của hai vectơ  \(\vec a\) và \(\vec b\).
    • Ta viết: \(\vec {AC}=\vec{a}+\vec{b}\).

2. Tính chất của phép cộng vectơ

Ta có các tính chất sau:

  • Tính chất giao hoán: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\).
  • Tính chất kết hợp: \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\).
  • Tính chất vectơ-không \(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\).

3. Quy tắc cần nhớ

a) Quy tắc ba điểm

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C bất ki, ta luôn có: 

\(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\)

b) Quy tắc hình bình hành

Quy tắc hình bình hành

Cho ABCD là hình bình hành, ta luôn có:

\(\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}\)

4. Quy tắc trung điểm và trọng tâm

  • Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}\)
  • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\)

5. Vectơ đối của một vectơ

Nếu tổng của hai vectơ  \(\vec a\) và \(\vec b\) là vectơ không, thì ta nói vectơ  \(\vec a\) là vectơ đối của vectơ  \(\vec b\), hoặc ngược lại  vectơ \(\vec b\) là vectơ đối của vectơ  \(\vec a\)

Định nghĩa:

  • Vectơ đối của vectơ \(\vec a\) là vectơ ngược hướng với  vectơ \(\vec a\) và có cùng độ lớn với vectơ \(\vec a\).
  • Vectơ đối của vectơ-không cũng là chính nó.

6. Hiệu của hai vectơ

Chúng ta đi sang bài toán minh họa sau:

Hiệu của hai vectơ

Tương tự với phương pháp cộng đã nêu ở trên, ta tính hiệu hai vectơ bằng cách cộng với vectơ đối.

Ta có quy tắc hiệu vectơ như sau: 

Nếu \(\vec{MN}\) là một vectơ đã cho và 1 điểm O bất kì, ta luôn luôn có:

\(\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM}\)

 

Bài tập minh họa

Bài 1: 

Chứng minh rằng trong một tứ giác nếu \(\vec{AB}=\vec{CD}\) thì \(\vec{AC}=\vec{BD}\)

Hướng dẫn:

Xét trường hợp A, B, C, D thẳng hàng, ta có 

Nhận thấy rằng, khi \(\vec{AB}=\vec{CD}\), theo phép cộng vectơ, ta cộng cho đại lượng vectơ \(\vec{BC}\) ta sẽ ra đpcm.

Xét tứ hình bình hành ABDC bằng hình vẽ sau, ta có:

Hình bình hành ABCD

Ta nhận thấy rằng, theo giả thiết \(\vec{AB}=\vec{CD}\) thì AB song song với CD và AB=CD. Ta dễ dàng suy ra được \(\vec{AC}=\vec{BD}\) (dpcm)

 

Bài 2: 

Xác định tính đúng sai của mệnh đề: \(|\vec{a}+\vec{b}|=\vec{a}+\vec{b}\)

Hướng dẫn: 

Nhận thấy rằng điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi 2 vectơ trên cùng hứng ta mới được cộng đại số như vậy

Còn với trường hợp ngược hướng thì hai vectơ sẽ bị triệt tiêu nhau thành dấu "-"

Đối với hai vectơ không cùng phương, ta có hình vẽ sau:

Như hình trên, ta thấy điều khẳng định trên là sai!

 

Bài 3: 

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: \(\vec{DA}-\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{0}\)

Hướng dẫn:

Như hình vẽ, ta thấy :\(\vec{DA}-\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{CB}+\vec{BD}+\vec{DC}=\vec{CC}=\vec{0}\)

 

Bài 4:

Cho hai lực \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) cùng chung một điểm đặt như hình vẽ. Biết rằng \(\vec{F_1}=\vec{F_2}=200N\). Hãy tìm cường độ lực tổng hợp của chúng.

Hướng dẫn:

Cường độ tổng hợp lực đó chính là \(\vec{OA}\), và có độ lớn cũng là 100N

Bài 5: 

Chứng minh rằng \(\vec{AB}=\vec{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của AD và BC trùng nhau.

Hướng dẫn:

Ta xét 2 trường hợp.

Trường hợp 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng

Với trường hợp này, ta dễ dàng thấy được AD và BC có cùng trung điểm M.

Chứng minh bài toán dễ dàng bằng phương pháp cộng đại số.

Trường hợp AB song song CD

Trường hợp này hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ta có dpcm.

Lời kết

Bài giảng đã cung cấp đến các em những nội dung trọng và các dạng bài tập liên quan đến Tổng và hiệu của hai vectơ.

Để củng cố bài học, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 1 Bài 2 với những câu hỏi ôn tập, bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Hình học 10 Chương 1 Bài 2, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài toán từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 10 HỌC247