Bài tập 19 trang 18 SGK Hình học 10 NC

Giả sử \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) và M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0,\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \vec 0}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} ,\\
\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} 
\end{array}
\end{array}} \right.}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} \\
 = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} 
\end{array}\\
{ = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} }\\
{ = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \vec 0}
\end{array}\)

Do đó, \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0 \), tức là M ≡ N.

Vậy trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Ngược lại, ta giả sử trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, suy ra:

\({\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 }\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  \)

\(= \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {CD} \)

-- Mod Toán 10 HỌC247