Bài tập 2.25 trang 62 SBT Hình học 12

a) Hình trụ nội tiếp trong lăng trụ tam giác đều có đường tròn đáy tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, r là bán kính đáy của hình trụ  nội tiếp trong lăng trụ, ta có: \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó, \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp lăng trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi rl = 2\pi \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.h = \frac{{\sqrt 3 \pi ah}}{3}\)

b) Ta có mặt phẳng (AA’I) là mặt phẳng qua trục hình trụ.

Mặt phẳng này cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật IKK’I’.

Đoạn A’I cắt KK’ tại M nên cắt hình trụ theo đoạn IM.

Ta có: \(\frac{{KM}}{{AA'}} = \frac{{IK}}{{IA}} = \frac{2}{3}\)

Xét tam giác vuông IKM ta có: 

\(I{M^2} = I{K^2} + K{M^2}\) \( = \frac{{3{a^2}}}{9} + \frac{{4{h^2}}}{9} = \frac{{3{a^2} + 4{h^2}}}{9}\)

Vậy \(IM = \frac{{\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} }}{3}\).

-- Mod Toán 12 HỌC247