Giải bài 2.28 tr 62 SBT Hình học 12
Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ′. Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δ′ và d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa Δ và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt Δ và Δ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc Δ mà d là hình chiếu vuông góc của Δ trên (P) nên M1 thuộc d.
Vì \(MA \bot A{A^\prime } = > {M_1}A \bot AA'\)
Mặt khác \({M_1}A \bot M'A'\) nên ta suy ra \({M_1}A \bot (A{A^\prime }M')\). Do đó \({M_1}A \bot M'A\) và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M1.
Ta có \(M'A' \bot (P)\) nên \(M'A' \bot A'{M_1}\), ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’M1
Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra \(M{M_1} \bot (Q)\) mà MM’ thuộc (Q), do đó \({M_1}M \bot MM'\)
Như vậy 5 điểm A, A’ , M, M’, M1 cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M1. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M1.
Ta có \(M'{M_1}^2 = M'{A^{\prime 2}} + A'{M_1}^2 = M'{A^{\prime 2}} + A'{A^2} + A{M_1}^2 = {x^2} + {a^2} + {x^2}{\cot ^2}\alpha \) vì MM1 = x và \(\cot \alpha = \frac{{A{M_1}}}{{{M_1}M}} = \frac{{A{M_1}}}{x}\)
Bán kính r của mặt cầu (S) bằng \(\frac{{M'{M_1}}}{2}\) nên \(r = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}(1 + {{\cot }^2}\alpha )} \)
b) Hình tứ giác A’M’MM1 là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M.
Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng Δ.
Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’ nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’.
Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Cho măt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), có bán kính bằng \(r = 5{\rm{ cm}}\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một dây cung\(AB = 6{\rm{ cm}}\). Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng bao nhiêu?
bởi hoàng duy 06/06/2021
A. \(3{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
B. \(4\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).
C. \(5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
D. \(4{\rm{ cm}}{\rm{.}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích \(16\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\). Diện tích của đường tròn lớn của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng bao nhiêu?
bởi Thùy Trang 06/06/2021
A. \(4\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
B. \(6\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
C. \(8\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
D. \(2\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có thể tích \(36\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\). Diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng
bởi Nguyễn Thị Thu Huệ 06/06/2021
A. \(24\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
B. \(36\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
C. \(18\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
D. \(20\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tỉ số thể tích của khối trụ nội tiếp và khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng \(a\) bằng
bởi Tra xanh 06/06/2021
A. \(\dfrac{1}{2}.\)
B. \(\dfrac{1}{3}.\)
C.\(\dfrac{1}{6}.\)
D.\(\dfrac{1}{4}.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 2.26 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.27 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.29 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.30 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.31 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.32 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.33 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.34 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.35 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.36 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.37 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.39 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.40 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.41 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.42 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.43 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.44 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.45 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.46 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.47 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.48 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.49 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 68 SGK Hình học 12 NC