Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC

Gọi S là giao điểm của hai cạnh bên AD và BC của hình thang. Đường cao SO của tam giác cân SCD là trục đối xứng của hình thang, do đó SO cắt AB tại trung điểm O′ của AB.

Khi quay quanh SO, tam giác SCD sinh ra khối nón (N1) có thể tích V1, tam giác SAB sinh ra khối nón (N2) có thể tích V2, còn hình thang ABCD sinh ra một khối tròn xoay (H) có thể tích V = V1 − V2.

Vì \(AB = \frac{1}{2}CD\) nên AB là đường trung bình của tam giác SCD nên SB = BC = 3a.

Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
SO\prime  = \sqrt {S{B^2} - O\prime {B^2}} \\
 = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2\sqrt 2 a
\end{array}\\
{SO = 2SO\prime  = 4\sqrt 2 a}\\
\begin{array}{l}
V = {V_1} - {V_2} = \frac{1}{3}\pi O{C^2}.SO - \frac{1}{3}\pi O\prime {B^2}.SO\prime \\
 = \frac{1}{3}\pi 4{a^2}.SO - \frac{1}{3}\pi {a^2}SO\prime 
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{1}{4}\pi {a^2}(4SO - SO\prime )\\
 = \frac{1}{3}\pi {a^2}(16\sqrt 2 a - 2\sqrt 2 a) = \frac{{14\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}
\end{array}
\end{array}\)

Diện tích xung quanh của khối tròn xoay (H) là

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{S_{xq}} = {S_1} - {S_2}\\
 = \pi OC.SC - \pi O\prime B.SB = 9\pi {a^2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d}\\
 = 9\pi {a^2} + \pi {a^2} + 4\pi {a^2} = 14\pi {a^2}
\end{array}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247