Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Cho hai đường tròn (O;r) và (O′;r′) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P′).
a) Chứng minh rằng có mặt cầu (S) đi qua hai đường tròn đó.
b) Tìm bán kính R của mặt cầu (S) khi
\(r = 5,r' = \sqrt {10} ,AB = 6,OO\prime = \sqrt {21} \)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Gọi M là trung điểm của AB ta có: OM ⊥ AB và O′M ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (OO′M)
Gọi Δ, Δ′ lần lượt là trục của đường tròn (O;r) và (O′;r′) thì AB ⊥ Δ, AB ⊥ Δ′. Do đó Δ, Δ′ cùng nằm trong mp (OO′M)
Gọi I là giao điểm của Δ và Δ′ thì I là tâm của mặt cầu (S) đi qua hai đường tròn (O;r) và (O′;r′) và S có bán kính R = IA.
b) Ta có: \(MA = MB = 3,OA = r = 5,OA\prime = r\prime = \sqrt {10} \)
\(\begin{array}{l}
OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\\
O\prime M = \sqrt {O\prime {A^2} - A{M^2}} = \sqrt {10 - 9} = 1
\end{array}\)
Áp dụng định lí Cosin trong ΔOMO′ ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{OO{\prime ^2} = O{M^2} + O\prime {M^2} - 2OM.O\prime M.\cos \widehat {OMO\prime }}\\
\begin{array}{l}
\Rightarrow 21 = 16 + 1 - 2.4.1.\cos \widehat {OMO\prime }\\
\Rightarrow \cos \widehat {OMO\prime } = - \frac{1}{2}
\end{array}\\
{\widehat {OMO\prime } = {{120}^0},\widehat {OIO\prime } = {{60}^0}}
\end{array}\)
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OMO′ ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{M{O^2} = MO{\prime ^2} + OO{\prime ^2} - 2MO\prime .OO\prime .\cos \widehat {MO\prime O}}\\
{ \Rightarrow \cos \widehat {MO\prime O} = \frac{{\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow \sin \widehat {OO\prime I} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}}
\end{array}\)
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OIO′ ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{OI}}{{\sin \widehat {OO\prime I}}} = \frac{{OO\prime }}{{\sin \widehat {OIO\prime }}}\\
\Leftrightarrow \frac{{OI}}{{\frac{{\sqrt {21} }}{7}}} = \frac{{\sqrt {21} }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow OI = 2\sqrt 3
\end{array}\\
{ \Rightarrow R = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} = \sqrt {25 + 12} = \sqrt {37} }
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Tìm số cạnh ít nhất của hình đa diện có 5 mặt.
bởi Trần Hoàng Mai 24/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho khối chóp S.ABC có thể tích V. Các điểm A', B', C' tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB, SC. Thể tích khối chóp S.A'B'C' bằng:
bởi Trần Hoàng Mai 25/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 4 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?
bởi Lê Gia Bảo 24/05/2020
A. 64 lần
B. 16 lần
C. 192 lần
D. 4 lần.
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Cho một khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . Nếu giữ nguyên chiều cao h, còn diện tích đáy tăng lên 3 lần thì ta được một khối chóp mới có thể tích là:
bởi Trịnh Lan Trinh 24/05/2020
\({V_1} = \frac{1}{3}Bh\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 68 SGK Hình học 12 NC