Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi V1, V2, V3 là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.
a) Tính V1, V2, V3 theo b, c
b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{V_3^2}} = \frac{1}{{V_1^2}} + \frac{1}{{V_2^2}}\)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Khi quay tam giác ABC quanh AB ta được khối nón có chiều cao AB = c và bán kính đáy AC = b nên có thể tích \({V_1} = \frac{1}{3}\pi c{b^2}\)
Tương tự khi quay tam giác ABC quanh AC ta được khối nón có thể tích \({V_2} = \frac{1}{3}\pi b{c^2}\)
Gọi AH là chiều cao của tam giác ABC. Khi quay tam giác ABC quanh BC ta được hai khối nón sinh bởi hai tam giác ABH và ACH.
Khi đó ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_3} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BH + \frac{1}{3}\pi A{H^2}.CH\\
= \frac{1}{3}\pi AH.BC
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= \frac{1}{3}\pi {(bc\sqrt {{b^2} + {c^2}} )^2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \\
= \frac{1}{3}\frac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}
\end{array}
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{{V_3^2}} = \frac{{9({b^2} + {c^2})}}{{\pi {b^4}{c^4}}}}\\
\begin{array}{l}
\frac{1}{{V_1^2}} + \frac{1}{{V_2^2}} = \frac{9}{{\pi {c^2}{b^4}}} + \frac{9}{{\pi {b^2}{c^4}}}\\
= \frac{{9({b^2} + {c^2})}}{{\pi {b^4}{c^4}}} = \frac{1}{{V_3^2}}
\end{array}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi, biết AA’=4a, AC=2a, BD=a. Thể tích của khối lăng trụ là
bởi Lê Bảo An 24/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3\({a^2}\) và chiều cao bằng 2a. Tính thể tích của khối chóp
bởi Lê Bảo An 25/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc tại O và OA=2, OB=3, OC=6. Tính thể tích của khối chóp
bởi Trần Hoàng Mai 25/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Tính thể tích của kim tự tháp
bởi Nguyễn Thanh Trà 25/05/2020
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 68 SGK Hình học 12 NC