Bài tập 2.30 trang 63 SBT Hình học 12

a) Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I.

Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp.

Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Ta có \(\displaystyle d \bot (ABCD)\) tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

Ta có MI // SA nên \(\displaystyle MI \bot (ABCD)\) tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’//OI cắt d tại O’.

Vì \(\displaystyle d' \bot (SAC)\) tại M nên ta có  O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có \(\displaystyle r = O'C = \sqrt {OO{'^2} + O{C^2}}  = \sqrt {M{I^2} + r{'^2}}\)

\(\displaystyle = \sqrt {{{({h \over 2})}^2} + r{'^2}}  \) \(\displaystyle = {{\sqrt {{h^2} + 4r{'^2}} } \over 2}\)

b) Vì SA không đổi nên ta có VSABCD lớn nhất khi và chỉ khi SABCD  lớn nhất.

Ta có \(\displaystyle {S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD\)  trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau.

Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r’ , nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.

-- Mod Toán 12 HỌC247