Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương IV Giới hạn

Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số.

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết |u_n – 2| ≤ v_n với mọi n và lim v_n = 0. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u_n)?

Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N, O với:

\(A=lim \frac{3n-1}{n+2}\)                 \(H=lim (\sqrt{n^2+2n}-n)\)

\(N=lim \frac{\sqrt{n}-2}{3n+7}\)               \(O=lim \frac{3^n-5.4^n}{1-4^n}\)

Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các ký hiệu biểu thức tương ứng.

a) Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Cho ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó.

Tính các giới hạn sau

a) \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+3}{x^2+x+4}\)

b) \(\lim_{x\rightarrow -3}\frac{x^2+5x+6}{x^2+3x}\)

c) \(\lim_{x\rightarrow 4^-}\frac{2x-5}{x-4}\)

d) \(\lim_{x\rightarrow +\infty } (-x^3+x^2-2x+1)\)

e) \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{x+3}{3x-1}\)

f) \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{\sqrt{x^2-2x+4}-x}{3x-1}\)

Cho hai hàm số \(f(x)=\frac{1-x^2}{x^2}\) và \(g(x)=\frac{x^3+x^2+1}{x^2}\)

a) Tính \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x); \lim_{x\rightarrow 0}g(x); \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x); \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)\)

b) Hai đường cong sau đây (h.60) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó.

Xét tính liên tục trên \(\mathbb{R}\) của hàm số: \(g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-x-2}{x-2} \ neu \ x>2\\ 5-x \ \ \ \ neu \ x\leq 2 \end{matrix}\right.\)

Chứng minh rằng phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2, 5).

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm.

B. Nếu (u_n) là dãy số tăng thì lim u_n = +∞.

C. Nếu lim u_n = +∞ và  lim v_n = +∞ thì lim (u_n – v_n) = 0.

D. Nếu u_n = aⁿ và -1< a < 0 thì lim u_n = 0.

Cho dãy số (u_n) với \(u_n=\frac{1+2+3+....+n}{n^2+1}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(lim \ u_n=0\)

B. \(lim \ u_n=\frac{1}{2}\)

C. \(lim \ u_n= 1\)

D. Dãy (u_n) không có giới hạn khi \(n\rightarrow +\infty\)

Cho dãy số (u_n) với: \(u_n=\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2+...+(\sqrt{2})^n\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. \(lim \ u_n=\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2+...+(\sqrt{2})^n+...=\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\)

B. \(lim \ u_n=-\infty\)

C. \(lim \ u_n=+\infty\)

D. Dãy số (u_n) không có giới hạn khi \(n\rightarrow +\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{-3x-1}{x-1}\) bằng:

A. -1                 B. \(-\infty\)              C. -3             D. \(+\infty\)

Cho hàm số: \(f(x)=\frac{1-x^2}{x}\) bằng:

A. \(+\infty\)                B. 1                  C. \(-\infty\)                D. -1

Cho hàm số: \(f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{3-x}{\sqrt{x+1}}-2 \ \ neu \ x\neq 3\\ m \ \ \ \ \ neu \ x = 3 \end{matrix}\right.\)

Để hàm số liên tục tại x = 3 thì phải chọn m bằng bao nhiêu:

A. 4        B. -1        C. 1         D. -4

Cho phương trình: -4x³ + 4x – 1 = 0     (1)

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai

A. Hàm số f(x) = -4x³ + 4x – 1 liên tục trên \(\mathbb{R}\).

B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng \((-\infty , 1)\).

C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng \((-2, 0)\).

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng \((-3,\frac{1}{2})\).

Tính các giới hạn sau \(n \to  + \infty \)

a) \(\lim \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}}}{{1 - {5^n}}}\)

b) \(\lim \frac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{{n^2} + n + 1}}\)

c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1}  - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\)

Tìm giới hạn của dãy số (u_n) với

a) \({u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{n^2} + 1}}\)

b) \({u_n} = \frac{{{2^n} - n}}{{{3^n} + 1}}\)

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131... (chu kì 131) dưới dạng phân số.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 2}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)

a) Chứng minh rằng u_n > 0 với mọi n

b) Biết (u_n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn u_n < M với mọi n. Chứng minh rằng nếu \(\lim {u_n} = a\) thì a ≤ M.

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó.

Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \cos \frac{1}{x}\) không có giới hạn khi x → 0.

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{x + 5}}{{{x^2} + x - 3}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \sqrt {{x^2} + 8x + 3} \)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2}\sqrt x  - 1} \right)\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{2{x^3} - 5x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Tìm các giới hạn 

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^4} + 5x - 1}}{{1 - {x^2} + {x^4}}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{1 - 2x}}\)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\)

f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x\left( {\frac{1}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x - 2}}} \right)\)

Xác định một hàm số y = f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) f(x) xác định trên R∖{1}.

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 2\).

Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^3} + 1}},\,\,x \ne  - 1\\
1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x =  - 1
\end{array} \right.\)

trên tập xác định của nó.

Xác định hàm số y = f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) f(x) xác định trên R

b) y = f(x) liên tục trên (−∞;0) và [0;+∞) nhưng gián đoạn tại x = 0.

Chứng minh rằng phương trình 

a) \({x^5} - 5x - 1 = 0\) có ít nhất ba nghiệm

b) \(m{(x - 1)^3}({x^2} - 4) + {x^4} - 3 = 0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

c) \({x^3} - 3x = m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m ∈ (−2;2).

Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3} + 8x + 1}}{{x - 2}}\)

Phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không 

a) trong khoảng (1;3)?

b) trong khoảng (−3;1)?

Giả sử hai hàm số y = f(x) và \(y = f\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0;1] và f(0) = f(1). Chứng minh rằng phương trình \(f(x) - f\left( {x + \frac{1}{2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\).

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu lim |u_n| = +∞ thì lim u_n = +∞;

B. Nếu lim|u_n| = +∞ thì lim u_n = −∞;

C. Nếu lim u_n = 0 thì lim|u_n| = 0;

D. Nếu lim u_n = −a thì lim|u_n| = a.

\(\lim \frac{{{2^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 1}}\) bằng

\(\lim (\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n)\) bằng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\) bằng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\) bằng 

Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{3 + 3x}}\), khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)\) bằng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \frac{{{x^2} - 6}}{{9 + 3x}}\) bằng 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}\) bằng

Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a;b].

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trong khoảng (a;b).

B. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).

C. Nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b), thì hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b).

D. Nếu hàm số f(x) liên tục, tăng trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 không thể có nghiệm trong khoảng (a;b).

Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\)   (1)

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1;1) 

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2;0)

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2;1)  

D. Phương trình (1) có ít nhất hai  nghiệm trong khoảng (0;2) 

Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với:

a) \({u_n} = \frac{{2{n^3} - n - 3}}{{5n - 1}}\)

b) \({u_n} = \frac{{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} }}{{ - 2{n^2} + 3}}\)

c) \({u_n} =  - 2{n^2} + 3n - 7\)

d) \({u_n} = \sqrt[3]{{{n^9} + 8{n^2} - 7}}\)

Tìm các giới hạn của các dãy số (u_­­n) với:

a) \({u_n} = \sqrt {3n - 1}  - \sqrt {2n - 1} \)

b) \({u_n} = \frac{{{4^n} - {5^n}}}{{{2^n} + {{3.5}^n}}}\)

Cho một cấp số nhân (un), trong đó:

243u₈ = 32u₃ với u₃ ≠ 0.

a. Tính công bội của cấp số nhân đã cho.

b. Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng 3⁵, tính u₁.

Tìm giới hạn của dãy số (u_n) xác định bởi:

\({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\).

Hướng dẫn: Với mỗi số nguyên dương k, ta có

\(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\)

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \sqrt[3]{{\frac{{2{x^4} + 3x + 1}}{{{x^2} - x + 2}}}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 5} }}{{2x - 1}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {\frac{{x + 4}}{{4 - x}}} \)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {8 + 2x}  - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}\)

f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)

Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} + 8}}{{4x + 8}},\,\,\,\,x \ne  - 2\\
3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2
\end{array} \right.\)

Có liên tục trên R không ?

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}},\,\,\,\,x < 2\\
mx + m + 1,\,\,\,\,\,\,x \ge 2
\end{array} \right.\)

Liên tục tại điểm x = 2

Chứng minh rằng phương trình:

\({x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).

a. \(\lim \frac{{n - 2\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}\) là :

A. 1

B. \(\frac{1}{2}\)

C. -1

D. 0

b. \(\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\) là :

A.  \(\frac{1}{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

B.  \(\frac{1}{5}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

C.  \(-\frac{3}{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

D. 0

c. \(\lim \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n} - {{2.3}^n} + 1}}\) là :

A.  \(-\frac{1}{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

B.  \(\frac{3}{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

C.  \(\frac{1}{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

D. -1

d. \(\lim \left( {2n - 3{n^3}} \right)\) là :

A. +∞

B. −∞

C. 2

D. -3

a. \(\lim \frac{{{n^3} - 2n}}{{1 - 3{n^2}}}\) là :

A.  \(\frac{{ - 1}}{3}\)

B.  \(\frac{2}{3}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

C.  +∞

D.  −∞

b. \(\lim \left( {{2^n} - {5^n}} \right)\) là :

A. +∞

B. 1

C. −∞

D. \(\frac{5}{2}\)

c. \(\lim \left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\) là :

A. +∞

B. −∞

C. 0

D. 1

d. \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n}  - n}}\) là :

A. +∞

B. 0

C. 2

D. -2

a. \(\lim \frac{{1 - {2^n}}}{{{3^n} + 1}}\) là :

A. \(\frac{{ - 2}}{3}\)

B. 0

C. 1

D. \(\frac{1}{2}\)

b. Tổng của cấp số nhân vô hạn

\( - \frac{1}{2},\frac{1}{4}, - \frac{1}{8},...,\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n}}},...\)

Là :

A.  \(-\frac{1}{4}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

B.  \(\frac{1}{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

C. - 1

D.  \(-\frac{1}{3}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

c. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số :

A.  611

B.  4690

C.  4390

D.  4790

a. Trong bốn giới hạn sau đây giới hạn nào là -1 ?

A. \(\lim \frac{{2n + 3}}{{2 - 3n}}\)

B. \(\lim \frac{{{n^2} - {n^3}}}{{2{n^3} + 1}}\)

C. \(\lim \frac{{{n^2} + n}}{{ - 2n - {n^2}}}\)

D. \(\lim \frac{{{n^3}}}{{{n^2} + 3}}\)

b. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là +∞ ?

A. \(\lim \frac{{{n^2} - 3n + 2}}{{{n^2} + n}}\)

B. \(\lim \frac{{{n^3} + 2n - 1}}{{n - 2{n^3}}}\)

C. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3n}}{{{n^3} + 3n}}\)

D. \(\lim \frac{{{n^2} - n + 1}}{{2n - 1}}\)

c. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?

A. \(\lim \frac{{{2^n} + 1}}{{{{3.2}^n} - {3^n}}}\)

B. \(\lim \frac{{{2^n} + 3}}{{1 - {2^n}}}\)

C. \(\lim \frac{{1 - {n^3}}}{{{n^2} + 2n}}\)

D. \(\lim \frac{{\left( {2n + 1} \right){{\left( {n - 3} \right)}^2}}}{{n - 2{n^3}}}\)