Bài tập 4.59 trang 174 SBT Toán 11

a) Xét \(f\left( x \right) = {x^5} - 5x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng [−2;−1], [−1;0] và [0;2]

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f\left( { - 2} \right) =  - 23,f\left( { - 1} \right) = 3,f\left( 0 \right) =  - 1,f\left( 2 \right) = 21\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - 2} \right)f\left( { - 1} \right) < 0\\
f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0\\
f\left( 0 \right)f\left( 2 \right) < 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó theo định lý 3, phương trình f(x) = 0 có ít nhất ba nghiệm.

b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3\) liên tục trên R

Do đó hàm số liên tục trên các đoạn [−2;1] và [1;2]

Ta có

\(\begin{array}{l}
f\left( { - 2} \right) = 13 > 0,\forall m\\
f\left( 1 \right) =  - 2 < 0,\forall m\\
f\left( 2 \right) = 13 > 0,\forall m\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - 2} \right)f\left( 1 \right) < 0\\
f\left( 2 \right)f\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right.\forall m
\end{array}\)

Do vậy phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất hai nghiệm.

c) Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\) liên tục trên R

Do đó hàm số liên tục trên các đoạn [−1;1], [1;2]

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f\left( { - 1} \right) = 2 - m > 0,\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\\
f\left( 1 \right) =  - 2 - m < 0,\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\\
f\left( 2 \right) = 5 - m > 0,\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right)f\left( 2 \right) < 0\\
f\left( { - 1} \right)f\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right.,\forall m \in \left( { - 2;2} \right)
\end{array}\)

Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm với mọi m ∈ (−2;2).

-- Mod Toán 11 HỌC247