• Câu hỏi:

    Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1. Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA+OB = OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC?

    • A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{4}.\)
    • B. \(\sqrt 6 .\)
    • C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
    • D. \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right) \Rightarrow OA = \left| a \right|,OB = \left| b \right|\).

    Tứ diện OABCOA, OB, OC đôi một vuông góc.

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ABOC.

    Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
    OC \bot OA\\
    OC \bot OB
    \end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)\) 

    Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng

     song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.

    \(\Delta OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OAB \Rightarrow IO = IA = IB\).

    \(I \in IN \Rightarrow IO = IC \Rightarrow IO = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC

    Ta có \(OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

    \(\begin{array}{l}
    R = OI = \sqrt {I{M^2} + O{M^2}}  = \sqrt {\frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\frac{{\sqrt {{a^2} + \left( {1 - {a^2}} \right) + 1} }}{2} = \frac{{\sqrt {2{a^2} - 2a + 2} }}{2}\\
    \,\,\,\, = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} - a + 1} \right)} }}{2} = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} - 2.a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)} }}{2} = \frac{{\sqrt {2{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }}{2} \ge \frac{{\sqrt 6 }}{4}
    \end{array}\) 

    Vậy \({R_{\min }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{2}\).  

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC