Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2

\(\begin{array}{l}
{\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 6 + {m^2}} \right) \ge 1 = {\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {{x^2} + {y^2} + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow 4x + 4y - 6 + {m^2} \ge {x^2} + {y^2} + 2\,\,\left( {Do\,\,{x^2} + {y^2} + 2 > 1} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 4y - {m^2} + 8 \le 0\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\) 

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 4 + {m^2} - 8 = {m^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) 

TH1: \(m = 0 \Rightarrow \left( 1 \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 8 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 2
\end{array} \right.\) 

Cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right)\) không thỏa mãn điều kiện (2).

TH2: \(m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow \) Tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn (1) là hình tròn \((C_1)\) (kể cả biên) tâm \(I_1(2;2)\) bán kính \(R_1=m\).

Tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn (2) là đường tròn \((C_2)\) tâm \(I_2(-1;2)\) bán kính \({R_2} = \sqrt {1 + 4 - 1}  = 2\).

Để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn 2 điều kiện (1) và (2) Xảy ra 2 trường hợp sau:

TH1: \((C_1), (C_2)\) tiếp xúc ngoài \( \Leftrightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}}  = m + 2\) 

\( \Leftrightarrow 3 = m + 2 \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {tm} \right)\).

TH2: \((C_1), (C_2)\) tiếp xúc trong và \({R_1} < {R_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|\\
m < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 = \left| {m - 2} \right|\\
m < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m = 5\\
m =  - 1
\end{array} \right.\\
m < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\) 

 Vậy \(S = \left\{ { \pm 1} \right\}\).