AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({e^{3m}} + {e^m} = 2\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\) có nghiệm.   

    • A. \(\left[ {\frac{1}{2}\ln 2; + \infty } \right).\)
    • B. \(\left( {0;\frac{1}{2}\ln 2} \right).\)
    • C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}\ln 2} \right].\)
    • D. \(\left( {0;\frac{1}{e}} \right).\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    ĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1.\) 

    Đặt \(x + \sqrt {1 - {x^2}}  = t\) ta có \({t^2} = {x^2} + 1 - {x^2} + 2x\sqrt {1 - {x^2}}  = 1 + 2x\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow x\sqrt {1 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

    Ta có: \(t\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0\) 

    \( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}}  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 0\\
    1 - {x^2} = {x^2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 0\\
    {x^2} = \frac{1}{2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)  

    Từ BBT ta có: \(t \in \left[ { - 1;\sqrt 2 } \right]\).

    Khi đó phương trình trở thành: \({e^m} + {e^{3m}} = 2t\left( {1 + \frac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = t\left( {{t^2} + 1} \right) = {t^3} + t\,\,\left( * \right)\)  

    Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(R \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\).

    Từ \(\left( * \right) \Rightarrow f\left( {{e^m}} \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow {e^m} = t \Leftrightarrow m = \ln t \Rightarrow m \in \left( {0;\ln \sqrt 2 } \right) = \left( {0;\frac{1}{2}\ln 2} \right)\) .

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>