• Câu hỏi:

    Cho hình chóp S.ABC có các cạnh \(SA = BC = 3;\,\,SB = AC = 4;\,\,SC = AB = 2\sqrt 5 \) . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

    • A. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{12}}.\)
    • B. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{6}}.\)
    • C. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{8}}.\)
    • D. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{4}}.\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Đặt \(SA = SB = a,SB = AC = b,SC = AB = c\).

    Dựng hình chóp S.A'B'C' sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B'C', C'A', A'B'.

    Dễ thấy \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{4}{V_{S.A'B'C'}}\).

    Ta có AB, BC, CA là các đường trung bình của tam giác A'B'C'

    \( \Rightarrow A'B' = 2AB = 2c;\,B'C' = 2BC = 2a;\,A'C' = 2AC = 2b\).

    \( \Rightarrow \Delta SA'B',\Delta SB'C',\Delta SC'A'\) là các tam giác vuông tại S (Tam giác

    có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)

    \( \Rightarrow SA',SB',SC'\) đôi một vuông góc

    \({V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{6}SA'.SB'.SC' \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}SA'.SB'.SC'\) 

    Áp dụng định lí Pytago ta có:

    \(\begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    SA{'^2} + SB{'^2} = 4{c^2}\\
    SB{'^2} + SC{'^2} = 4{a^2}\\
    SA{'^2} + SC{'^2} = 4{b^2}
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    SA{'^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\\
    SB{'^2} = 2\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\\
    SC{'^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)
    \end{array} \right.\\
     \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}.\sqrt {8\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \\
    \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} 
    \end{array}\) 

    Thay \(a = 3,b = 4,c = 2\sqrt 5  \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt {390} }}{4}.\)    

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC