Cho hình chóp S.ABC có các cạnh \(SA = BC = 3;\,\,SB = AC = 4;\,\,SC = AB = 2\sqrt 5 \) . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Đặt \(SA = SB = a,SB = AC = b,SC = AB = c\).

Dựng hình chóp S.A'B'C' sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B'C', C'A', A'B'.

Dễ thấy \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{4}{V_{S.A'B'C'}}\).

Ta có AB, BC, CA là các đường trung bình của tam giác A'B'C'

\( \Rightarrow A'B' = 2AB = 2c;\,B'C' = 2BC = 2a;\,A'C' = 2AC = 2b\).

\( \Rightarrow \Delta SA'B',\Delta SB'C',\Delta SC'A'\) là các tam giác vuông tại S (Tam giác

có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)

\( \Rightarrow SA',SB',SC'\) đôi một vuông góc

\({V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{6}SA'.SB'.SC' \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}SA'.SB'.SC'\) 

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SA{'^2} + SB{'^2} = 4{c^2}\\
SB{'^2} + SC{'^2} = 4{a^2}\\
SA{'^2} + SC{'^2} = 4{b^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
SA{'^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\\
SB{'^2} = 2\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\\
SC{'^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}.\sqrt {8\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} 
\end{array}\) 

Thay \(a = 3,b = 4,c = 2\sqrt 5  \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt {390} }}{4}.\)