• Câu hỏi:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(A,AB = 1cm,AC = \sqrt 3 cm\). Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại BC. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng \(\frac{{5\sqrt 5 }}{6}c{m^3}\). Tính khoảng cách từ C tới (SAB).  

    • A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}cm.\)
    • B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}cm.\)
    • C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}cm.\)
    • D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{4}cm.\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Gọi I là trung điểm của SA.

    Tam giác SAB, SAC vuông tại \(B,C \Rightarrow IS = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.   

    Gọi H là trung điểm của BC. Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    \( \Rightarrow IH \bot \left( {ABC} \right)\).

    Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Theo bài ra ta có:

    \(\begin{array}{l}
    \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{5\sqrt 5 \pi }}{6} \Leftrightarrow {R^3} = \frac{{5\sqrt 5 }}{8} = \frac{{\sqrt {125} }}{8} \Leftrightarrow R = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\
     \Rightarrow IS = IA = IB = IC = \frac{{\sqrt 5 }}{2}
    \end{array}\)  

    Xét tam giác vuông ABC có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2 \Rightarrow AH = 1\) 

    Xét tam giác vuông IAH có: \(IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {\frac{5}{4} - 1}  = \frac{1}{2}\) 

    \(\begin{array}{l}
    {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.1.\sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
     \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \frac{1}{3}IH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}
    \end{array}\) 

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}
    SI \cap \left( {ABC} \right) = A \Rightarrow \frac{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \frac{{SA}}{{IA}} = 2\\
     \Rightarrow \frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.IBC}}}} = 2 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{I.ABC}} = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}
    \end{array}\) 

    Xét tam giác vuông SAB có \(IB = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow SA = 2IB = \sqrt 5  \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} - A{B^2}}  = 2\) 

    \( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}.1.2 = 1\) 

    Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{\Delta SAB}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \frac{{3.\frac{{\sqrt 3 }}{6}}}{1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC