• Câu hỏi:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \(60^0\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ACSB

    • A. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)
    • B. \(\frac{{a\sqrt {2} }}{2}.\)
    • C. \(\frac{{a\sqrt {7} }}{7}.\)
    • D. \(2a\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của SB lên (ABC).

    \(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).

    Dựng hình bình hành ACBD.

    Ta có

    \(BD//AC \Rightarrow \left( {SBD} \right)//AC \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

     Do tam giác ABC đều \( \Rightarrow AC = CB = AB = a\).

    Mà \(AC = BD;CB = AD \Rightarrow AB = AD = BD = a \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh a.

    Gọi M là trung điểm của \(BD \Rightarrow AM \bot BD\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

    Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
    BD \bot AM\\
    BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)
    \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).

    Trong (SAM) kẻ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\).

    \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = AH\).

    Xét tam giác vuông SAB ta có \(SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có: \(AH = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)     

    Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)   

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC