• Câu hỏi:

Cho hàm số $$y=f(x)$$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn $$f(0)=0$$. Biết $$\int_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = \frac{9}{2}}$$ và $$\int_0^1 {f'\left( x \right)\cos \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{{3\pi }}{4}}$$. Tích phân $$\int_0^1 {f\left( x \right)dx}$$ bằng.

• A. $$\frac{6}{\pi }.$$
• B. $$\frac{2}{\pi }.$$
• C. $$\frac{4}{\pi }.$$
• D. $$\frac{1}{\pi }.$$

Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Đặt $$\left\{ \begin{array}{l} u = \cos \frac{{\pi x}}{2}\\ dv = f'\left( x \right)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = - \frac{\pi }{2}\sin \frac{{\pi x}}{2}dx\\ v = f\left( x \right) \end{array} \right.$$

$$\begin{array}{l} \Rightarrow \int_0^1 {f'\left( x \right)\cos \frac{{\pi x}}{2}dx = \cos } \frac{{\pi x}}{2}f\left( x \right)\left| \begin{array}{l} ^1\\ _0 \end{array} \right. + \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx} \\ = f\left( 1 \right).cos\frac{\pi }{2} - f\left( 0 \right)\cos 0 + \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx} \\ = \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{3}{2}} } \end{array}$$

Xét tích phân $$\int_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + k\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right]}^2}dx = 0}$$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2kf\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2} + {k^2}{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}} \right]dx = 0} \\ \Leftrightarrow \int_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx + 2k\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2} + {k^2}\int_0^1 {{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}dx = 0} } } \\ \Leftrightarrow \frac{9}{2} + 2k\frac{3}{2} + \frac{1}{2}{k^2} = 0 \Leftrightarrow k = - 3 \end{array}$$

Khi đó ta có $$\int_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) - 3\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right]}^2}dx = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 3\sin \frac{{\pi x}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3\sin \frac{{\pi x}}{2}}$$

Vậy $$\int_0^1 {f\left( x \right)dx = 3\int_0^1 {\sin \frac{{\pi x}}{2}dx = - 3\frac{{\cos \frac{{\pi x}}{2}}}{{\frac{\pi }{2}}}\left| \begin{array}{l} ^1\\ \\ _0 \end{array} \right.} } = \frac{{ - 6}}{\pi }\cos \frac{{\pi x}}{2}\left| \begin{array}{l} ^1\\ _0 \end{array} \right. = - \frac{6}{\pi }\left( {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 0} \right) = \frac{6}{\pi }$$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

• ### Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3

50 câu hỏi | 90 phút

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng