YOMEDIA
  • Câu hỏi:

    Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn \(f(0)=0\). Biết \(\int_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = \frac{9}{2}} \) và \(\int_0^1 {f'\left( x \right)\cos \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{{3\pi }}{4}} \). Tích phân \(\int_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng. 

    • A. \(\frac{6}{\pi }.\)
    • B. \(\frac{2}{\pi }.\)
    • C. \(\frac{4}{\pi }.\)
    • D. \(\frac{1}{\pi }.\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
    u = \cos \frac{{\pi x}}{2}\\
    dv = f'\left( x \right)dx
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    du =  - \frac{\pi }{2}\sin \frac{{\pi x}}{2}dx\\
    v = f\left( x \right)
    \end{array} \right.\) 

    \(\begin{array}{l}
     \Rightarrow \int_0^1 {f'\left( x \right)\cos \frac{{\pi x}}{2}dx = \cos } \frac{{\pi x}}{2}f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}
    ^1\\
    _0
    \end{array} \right. + \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx} \\
     = f\left( 1 \right).cos\frac{\pi }{2} - f\left( 0 \right)\cos 0 + \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx} \\
     = \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{3}{2}} } 
    \end{array}\) 

    Xét tích phân \(\int_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + k\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right]}^2}dx = 0} \) 

    \(\begin{array}{l}
     \Leftrightarrow \int_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2kf\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2} + {k^2}{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}} \right]dx = 0} \\
     \Leftrightarrow \int_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx + 2k\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2} + {k^2}\int_0^1 {{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}dx = 0} } } \\
     \Leftrightarrow \frac{9}{2} + 2k\frac{3}{2} + \frac{1}{2}{k^2} = 0 \Leftrightarrow k =  - 3
    \end{array}\)

    Khi đó ta có \(\int_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) - 3\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right]}^2}dx = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 3\sin \frac{{\pi x}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3\sin \frac{{\pi x}}{2}} \) 

    Vậy \(\int_0^1 {f\left( x \right)dx = 3\int_0^1 {\sin \frac{{\pi x}}{2}dx =  - 3\frac{{\cos \frac{{\pi x}}{2}}}{{\frac{\pi }{2}}}\left| \begin{array}{l}
    ^1\\
    \\
    _0
    \end{array} \right.} }  = \frac{{ - 6}}{\pi }\cos \frac{{\pi x}}{2}\left| \begin{array}{l}
    ^1\\
    _0
    \end{array} \right. =  - \frac{6}{\pi }\left( {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 0} \right) = \frac{6}{\pi }\) 

    RANDOM

Mã câu hỏi: 90798

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

 

YOMEDIA