Bài tập 7 trang 106 SGK Đại số 10

Cho a,b,c >0 và a²+b²+c²=1. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{bc}{1+a^2}+\dfrac{ca}{1+b^2}+\dfrac{ab}{1+c^2}\le\dfrac{3}{4}\)

Cho a,b,c dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=4\)

CMR: \(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le1\)

Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

x + y + z = 1. CMR:

\(ax+by+cz+2\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)\left(ab+bc+ca\right)}\le a+b+c\)

Giúp em với ....

cho x,y,x>2 và \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=1 chứng minh (x-2)(y-2)(z-2)<=1

Cho các số dương a,b,c tm:

a+b+c=1. Tìm Max M=\(\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9\sqrt{abc}\)

@Akai Haruma

Cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\)
Chứng minh \(\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+zx}+\dfrac{z}{1+xy}\le2\)

Cho a,b,c là 3 số thức dương thỏa mãn a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c . CMR

2( a + b + c) \(\ge\) \(\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\)

Giải:

Dễ thấy bđt cần cm tương đương với mỗi bđt trong dãy sau:

\(\left(2a-\sqrt{a^2+3}\right)+\left(2b-\sqrt{b^2+3}\right)+\left(2c-\sqrt{c^2+3}\right)\ge0\),

\(\dfrac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{b^2-1}{2b+\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{c^2-1}{2c+\sqrt{c^2+3}}\ge0\),

\(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}\ge0\)

Các bđt trên đầu mang tính đối xứng giữa các biến nên k mất tính tổng quát ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)

=> \(\dfrac{a^2-1}{a}\ge\dfrac{b^2-1}{b}\ge\dfrac{c^2-1}{c}\)

và \(\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}\ge\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}\ge\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\)

Áp dụng bđt Chebyshev có:

\(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\ge\dfrac{1}{3}\left(\sum\dfrac{a^2-1}{a}\right)\left(\sum\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}\right)\)

Theo gia thiết lại có: \(\sum\dfrac{a^2-1}{a}=\left(a+b+c\right)-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)

nên ta có thể suy ra \(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\ge0\)

Vì vậy bđt đã cho ban đầu cũng đúng.

@Ace Legona

Cho x, y, z > 0 và x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)

Chứng minh BĐT :

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\) với a,b\(\ge\)0

Cho a,b,c>0,a+b+c=3 thì có thể khẳng định ab+bc+ca>1 không ?

Cho a, b, c > 0. CMR \(\dfrac{1}{a\left(a+1\right)}+\dfrac{1}{b\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{c\left(c+1\right)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)}\)

a>b>c>0; cmr: a³b²+b³c²+c³a²>a²b³+b²c³+c²a³

Cho \(a,b,c\ge0\)thỏa mãn \(abc\le1\)
Chứng minh \(\dfrac{a}{a^2+2b+3}+\dfrac{b}{b^2+2c+3}+\dfrac{c}{c^2+2a+3}\le\dfrac{1}{2}\)

1.Chứng minh mệnh đề sau: Nếu a,b\(\ge\)0 thì: a+b\(\ge\)2.\(\sqrt{ab}\)

Với x>2 tìm GTNN của y = x + \(\dfrac{2x+5}{x-2}\) Giúp mình

Chứng minh BĐT:

\(a^2+4b^2+4c^2\ge2\left(ab-ac+2bc\right)\)

Cho a,b,c \(\ge0\). CMR:

\(\dfrac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}+\dfrac{b^3c}{b^4+b^2c^2+c^4}+\dfrac{c^3a}{c^4+c^2a^2+a^4}\le1\)

cho a,b,c >0, và \(a^2+b^2+c^2=3\):

CMR: \(\dfrac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{6a^2+8ba+11b^2}}+\dfrac{a^2+3ab+c^2}{\sqrt{6a^2+8ca+11c^2}}+\dfrac{c^2+3cb+b^2}{\sqrt{6c^2+8ca+11b^2}}\) \(\leq\) 3

\(\dfrac{\sqrt{ab}}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{1}{4}\)với a,b>0

Cho a;b;c là các số thực dương,tìm max của: \(A=\sqrt{\dfrac{a}{2a+b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2b+a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{2c+a+b}}\)

Cho các số a;b;c không âm .Chứng minh :

\(\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\sqrt[4]{16+\dfrac{196abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

cho các số dương a, b , c cmr

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>=\dfrac{9}{a+b+c}\)

Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

a)\(\dfrac{x^2-8x+20}{mx^2+2\left(m+1\right)x +9m+4}< 0\)

b)\(\dfrac{3x^2-5x+4}{\left(m-4\right)x^2+\left(1+m\right)x+2m-1}\)<0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

C= |x+5|-|x-2|

giải cụ thể nha

CMR trong mọi tam giác , ta có

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{36}{35}\left(p^2+\dfrac{abc}{p}\right)\) với p là nửa chu vi

Tính GTLN của E = |x+1| - |x-4|
Mọi người giúp mình nhé :3 (làm theo cách lập bảng xét dấu ạ)

a,b,c>0;a+b+c=2.cmr: \(\sqrt{a+2009}+\sqrt{b+2009}+\sqrt{c+2009}\le3016\) . help me plz

Cho a,b,c>0 và a+b+c=2

CMR: \(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}\)+\(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\)+\(\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}}\) \(\le\)\(\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)

Cho a,b,c thực thõa mãn a2+2b2+5c2=22.Tìm GTLN của biểu thức A=ab+ac+bc

Đề: Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y\le z\end{matrix}\right.\) tìm Min của \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\) Làm thế này không biết đúng ko

Ta có :A= \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\)

=> A \(=3+\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\left(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(A\ge3+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)=6+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)

Do \(x+y\le z\Rightarrow\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}\le1\) ; Đặt \(u=\dfrac{x}{z}\); \(v=\dfrac{y}{z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}=\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{v^2}\ge\dfrac{2}{uv}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(u+v\right)^2}{4}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)

\(\Rightarrow A\ge6+\dfrac{15}{16}.8=\dfrac{27}{2}\) Vậy minA = \(\dfrac{27}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{z}{2}\)

Chứng minh với x,y là 2 số không âm tùy ý, ta luôn có: \(3x^3+17y^3\ge18xy^2\)

Xài bđt Cauchy nha.

Tìm gtln của (x + z)(y + t) biết x² + y² + 2z² + 2t² = 1

Cho x,y,z >0 và xy\(\ge\)12 ,yz\(\ge8\) CMR:

(x+y+z) +2(\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\)) +\(\dfrac{8}{xyz}\) \(\ge\dfrac{121}{12}\)

Giải giúp mình với !!!

cho a ≥ 9 b≥4 c≥1 cmr:.....

\(ab\sqrt{c-1}+bc\sqrt{a-9}+ca\sqrt{b-4}\le\dfrac{11abc}{12}\)

Cho x,y là các số thực dƣơng thỏa mãn điều kiện:\(x+y\le6\) . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P=\(x+y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{24}{y}\)

Tìm Min, Max: \(\dfrac{x+2y+1}{x^2+y^2+7}\)

a, Cho hai số dương x,y . Cmr \(\dfrac{2}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{xy+y+1}\)

b, Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 . Tìm giá trị lớn ngất của biểu thức

Q=\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2 +2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\)

a,b,c>0 CM: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b}>2\)

Biểu thức F(x) + -x² +2(m+1)x -m²+m-4 luôn âm với mọi x khi :

A. m>1

B. m>3

C. m<3

D.m<1

Cho x,y tm \(x^2+y^2=1\) Tìm Max,Min của P=\(\frac{2(x^2+6xy)}{1+2xy+2y^2} \)