Bài tập 13 trang 107 SGK Đại số 10

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTNN của P=\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{2bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{2ca}}\)

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1

Tìm GTNN của P=\(\dfrac{1}{a\left(1+b\right)}+\dfrac{1}{b\left(1+c\right)}+\dfrac{1}{c\left(1+a\right)}\)

Cho a,b,c dương. CMR \(1+\dfrac{3}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{6}{a+b+c}\)

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1

Tìm GTLN của P=\(\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)

CMR: 3x^2 + 4y^2 + 4x + 2 >= 4xy

Cho x,y,z dương thỏa mãn ab+bc+ca=1

Tìm GTLN của P=\(\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

Với các số dương a,b,c sao cho \(\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}=1\)

Tìm GTNN của P=\(\left(\dfrac{1+b}{a}-1\right)\left(\dfrac{1+c}{b}-1\right)\left(\dfrac{1+a}{c}-1\right)\)

Cho các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\) và làm cho các biểu thức của BĐT luôn xác định chứng minh:

\(\sqrt{a^2+a-1}+\sqrt{b^2+b-1}+\sqrt{c^2+c-1}\le3\)

Làm hộ em theo UCT rồi giải thích với ạ

Với a,b,c,d dương sao cho \(\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}+\dfrac{d}{1+d}=1\)

Tìm GTLN của P=abcd

Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1. GTNN của

P=\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)

c/m bằng cách sử dụng côsi

a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2

Cho x,y,z dương. CMR

\(\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\dfrac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\)

F(x)=(3x-1)×(x+2)

CM: \(\dfrac{1}{a\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{b\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{c\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{1+abc}\) với a,b,c \(\ge\) 1. Help!

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) . Chứng minh rằng

a/ \(a^2b+b^2c+c^2a\le3\)

b/ \(\dfrac{ab}{3+c^2}+\dfrac{bc}{3+a^2}+\dfrac{ca}{3+b^2}\le\dfrac{3}{4}\)

Cho a,b,c là các số thực k âm thỏa mãn a+b+c=3.CMR

a/ \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)

b/ \(\dfrac{a^2}{a+2b^3}+\dfrac{b^2}{b+2c^3}+\dfrac{c^2}{c+2a^3}\ge1\)

Cho a,b,c là số thực dương. Tìm GTLN của

P=\(\dfrac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\dfrac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\)

Tìm GTNN của

a/ A=\(\dfrac{x^2-x+3}{\sqrt{1-x^3}}\) với x<1

b/ B= \(\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+3x+10}với-2\le x\le5\)

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn \(2a+4b+3c^2=68\) . Tìm GTNN của

A=\(a^2+b^2+c^3\)

cho a,b,c thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\end{matrix}\right.\) chứng minh rằng\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\) . Tìm GTLN của

A=\(\left(1+2a\right)\left(1+2bc\right)\)

Tìm GTNN của bt

a/ \(h\left(x\right)=x+\dfrac{3}{x}\) với \(x\ge2\)

b/ \(k\left(x\right)=2x+\dfrac{1}{x^2}\) với \(0< x\le\dfrac{1}{2}\)

Tìm GTNN của biểu thức

a/ \(f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x-2}\) với x>2

b/ \(g\left(x\right)=2x+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\) với x>-1

Chứng minh 1,\(x^4+5>x^2+4x\)

2, Nếu \(a\ge4,b\ge5,c\ge6,a^2+b^2+c^2=90\Rightarrow a+b+c\ge16\)

Bài 7: Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Chứng minh a + 2 b + c ≥ 4(1 – a)(1 – b)(1 – c)

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn abc=1

CMR \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

Câu 1: cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (\(1+\dfrac{a}{b})\)\((1+\dfrac{b}{c})\)\((1+\dfrac{c}{a})\) ≥ 8

cmr nếu a,b là hai số trái dấu thì \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}< =-2\)

(m-1)(mx+1)>0

Giải và biện luận bất phương trình

cmr với mọi số thực a, b, c dươngta đều có bđt

\(\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}+\dfrac{b^2}{\left(2b+a\right)\left(2b+c\right)}+\dfrac{a^2}{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\)<=3

cho \(a>0 ;b>0\) và \(a+b=1\). Tìm GTNN \(S=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\)

Bài 1: Cho a,b,c>0 thỏa mãn : a+b+c=3.

Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2}{a+b^2}\)+ \(\dfrac{b^2}{b+c^2}\)+ \(\dfrac{c^2}{c+a^2}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với x ≥ 0 ; x ≤ \(\dfrac{4}{3}\)

A= 4x³ - 3x²

Bài 3: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

3( ab + bc + ca ) ≤ ( a+ b + c )²

Cho 3 số dương a,b,c tm: a+b+c+ab+ca+bc=6abc

CMR: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{3}\)

@Lightning Farron

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR

a/ \(\dfrac{a}{\sqrt{b+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

b/ \(\sqrt{\dfrac{a^3}{b+3}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{c+3}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{a+3}}\ge\dfrac{3}{2}\)

Chứng minh các BĐT sau:

a. \(9\left(\dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{2}{b+2c}+\dfrac{3}{c+2a}\right)\le\dfrac{7}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{7}{c}\)

b. \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{18}{3b+4c}+\dfrac{9}{c+6a}\)

c. \(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{2a+c}{b}+\dfrac{4\left(a+b\right)}{a+c}\ge9\)

Cho a,b,c dương sao cho \(a^2+b^2+c^2=3\) . Chứng minh rằng

a/ \(\dfrac{a^3b^3}{c}+\dfrac{b^3c^3}{a}+\dfrac{c^3a^3}{b}\ge3abc\)

b/ \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge3\)

1)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=15\\x^3+y^3+z^3=495\end{matrix}\right.\)

2) Cho a,b,c là 3 số thực không âm, tìm GTLN của biểu thức:

\(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)

3) Giải phương trình: \(\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\)

4) Cho \(x^2+y^2+z^2=k\left(\forall k>0\right)\) cho trước.

Tìm GTLN của \(A=k\left(xy+yz+xz\right)+\dfrac{1}{2}\left[x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\right]\)

5) Chứng minh rằng:

\(\left(3a+2b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{45}{2}\)(Bài này quên điều kiện hay gì đó rồi, ae nếu thấy sai thì fix giùm)

6) Cho a là số thay đổi thỏa mãn: \(-1\le a\le1\)

Tìm GTLN của b sao cho bđt sau đúng:

\(2\sqrt{1-a^4}+\left(b-1\right)\left(\sqrt{1+a^2}-\sqrt{1-a^2}\right)+b-4\le0\)

7) Cho a,b,c dương thỏa mãn \(abc=1\). Chứng minh rằng:

\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{8b^3+1}}\ge1\)

8) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\sum\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{b+c}}\ge0\)

Cho a,b,c là các số thực. CMR:

2(a⁴+1)+(b²+1)²>=(2ab+1)²

Cho các số thực dương a,b. Chứng minh rằng:

a/ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{9ab}{a^2+b^2}\ge\dfrac{13}{2}\)

b/ \(\dfrac{a}{3b}+\dfrac{b\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge1\)

c/ \(\dfrac{a}{2b}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{ab}{2\left(a^3+2b^3\right)}\ge\dfrac{5}{3}\)

cho a +b=2 . Chúng tỏ rằng a*b<1