Bài tập 11 trang 107 SGK Đại số 10

Giải bài 11 tr 107 sách GK Toán Đại số 10

a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a2 - b= (a - b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x4 - x2 + 6x - 9 và \(g(x) = {x^2} - 2x - \frac{4}{{{x^2} - 2x}}\)

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau:

x(x3 - x + 6) > 9

Hướng dẫn giải chi tiết

Lưu ý: Phần bài làm hơi tắt một chút, các bạn có thể tự mình lập bảng xét dấu cho đầy đủ và rõ ràng hơn

a) Ta có: f(x) = x4 - x2 + 6x - 9

= x4 - (x - 3)2 = (x2 + x - 3)(x2 - x + 3)

Do (x2 - x + 3) = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{13}}{4}\) > 0 nên f(x) cùng dấu với (x2 + x - 3).

Tam thức x2 + x - 3 có hai nghiệm là \(\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\) và \(\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\)

Vậy f(x) < 0 khi x ∈ \(\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}} \right)\)

f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; \(\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\)) ∪ (\(\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\);+∞)

\(\begin{array}{l}
g(x) = {x^2} - 2x - \frac{4}{{{x^2} - 2x}}\\
 = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - 4}}{{{x^2} - 2x}} = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)}}{{{x^2} - 2x}}
\end{array}\)

Vì x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1 > 0 nên g(x) cùng dấu với \(\frac{{\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)}}{{{x^2} - 2x}}\)

Tam thức x2 - 2x - 2 có hai nghiệm là x1 = 1 - √3; x2 = 1 + √3.

Tam thức x2 - 2x có hai nghiệm là x1 = 0; x2 = 2

Vậy g(x) < 0 khi x ∈ (1 - √3; 0) ∪ (2; 1 + √3)

g(x) > 0 khi x ∈ (-∞; 1 - √3) ∪ (0; 2) ∪ (1 + √3; +∞)

b) Ta có: x(x3 - x + 6) > 9 ⇔ x4 - x2 + 6x - 9 > 0

⇔ x4 - (x - 3)2 > 0 ⇔ (x2 - x + 3)(x2 - x - 3) > 0 (*)

Do x2 - x + 3 = x2 - 2.x.1/2 + 1/4 + 11/4 = (x - 1/2)2 + 11/4 > 0 nên (*) tương đương với:

x2 - x - 3 > 0

⇔ x < \(\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\) hoặc x > \(\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\) (kết quả phần a)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left( { - \infty ;\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}} \right)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}; + \infty } \right)\)

-- Mod Toán 10 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 107 SGK Đại số 10 HAY thì click chia sẻ