Bài tập 76 trang 155 SGK Toán 10 NC
Chứng minh các bất đẳng thức
a) |a+b| < |1+ab| với |a| < 1; |b| < 1
b) \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} \ge \frac{1}{2}\) với mọi n ∈ N*
c) \(\frac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Ta có:
|a+b| < |1+ab| ⇔ (a+b)2 < (1+ab)2
⇔ a2b2 – a2 – b2+1 > 0
⇔ a2(b2–1) – (b2–1) > 0
⇔ (a2–1)(b2–1) > 0 (luôn đúng vì a2 < 1 và b2 < 1)
Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a+b| < |1+ab|
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{n + 1}} \ge \frac{1}{{2n}}\\
;\frac{1}{{n + 2}} \ge \frac{1}{{2n}}\\
;...;\\
\frac{1}{{2n}} = \frac{1}{{2n}}
\end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}}\\
\ge \underbrace {\frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{2n}} + ... + \frac{1}{{2n}}}_n
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}}\\
\ge n.\frac{1}{{2n}} = \frac{1}{2}
\end{array}
\end{array}\)
Vậy ta được điều phải chứng minh.
c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:
\(\begin{array}{l}
\frac{{a + b}}{{1 + a + b}} = \frac{a}{{1 + a + b}} + \frac{b}{{1 + a + b}}\\
\le \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}}
\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0
-- Mod Toán 10 HỌC247
-
Chứng minh 1/(1+a^2)+1/(1+b^2)>=2/(1+ab)
bởi A La 05/11/2018
Cm: với \(ab\ge1\) thì \(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm min của sigma 1/căn(a^2+b^2)
bởi Trần Phương Khanh 05/11/2018
cho a,b,c ko âm thỏa ab+bc+ca=1 .tìm Min \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cm tồn tại x_i=x_k với i khác k biết 1/căn x_1+1/căn x_2+...+1/căn x_100=20
bởi Nguyễn Hạ Lan 05/11/2018
Cho x1,x2,...x100 là các số nguyên dương sao cho:
\(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_{100}}}=20\)
CMR : Tồn tại xi = xk , với i \(\ne\) k và \(i,k\in\left\{1,2,...,100\right\}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm x thuộc Z, biết |x+1| < 2
bởi Co Nan 05/11/2018
tìm x trong tỉ lệ thức : a ) 37- x / x+ 13 b ) tìm x thuộc z biết : /x+1/ < 2Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh x^2+y^2=1 biết x căn(1-y^2)+y căn(1-x^2)=1
bởi Anh Nguyễn 05/11/2018
Cho x\(\sqrt{1-y^{ }2}\) + y\(\sqrt{1-x^{ }2}\) = 1
CMR: \(x^2\) + \(y^2\) =1
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho x,y,z>0 tìm min
P=\(\dfrac{3x}{Y+Z}\)+\(\dfrac{4y}{x+z}\)+\(\dfrac{5z}{x+y}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh a^2+b^2+c^2+3/4>=a+b+c
bởi Bình Nguyen 05/11/2018
a2 +b2 +c2 +\(\dfrac{3}{4}\) ≥ a+b+c
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh 1/(x^2+xy)+1/(y^2+xy)>=4
bởi Lan Ha 05/11/2018
giải bài toán: Cho x>0; y>0 và x+y≤1. Chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\)≥4
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho \(x,y,z,t>0\) thỏa mãn \(xyzt=1\)
Chứng minh \(\dfrac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\dfrac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)\)Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh (a+b)^2+(1/a+1/b)^2>=8
bởi can chu 05/11/2018
Cho a,b dương. CMR \(\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge8\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh (a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)(ab+bc+ca)
bởi Co Nan 05/11/2018
Cho a, b, c là các số thực dương:
CMR: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho a,b,c > 0:abc=1
Cmr: \(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh A không thể là tổng lũy thừa bậc 4 của 2 số nguyên dương liên tiếp
bởi sap sua 05/11/2018
Cho số nguyên A là tổng bình phương hai số dương liên tiếp. Hãy chứng minh rắng A không thể là tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp.
Các bạn học giỏi toán thử làm nhé!
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho các số a;b;c không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\).Chứng minh
\(\dfrac{a+b}{1-ab}+\dfrac{b+c}{1-bc}+\dfrac{c+a}{1-ac}\le3\left(a+b+c\right)\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh a/b+căn b/c+căn bậc 3(c/a)>=5/2
bởi thủy tiên 22/10/2018
CMR: \(\dfrac{a}{b}+\sqrt{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}\ge\dfrac{5}{2}\)
giúp tớ với Nguyễn Thanh Hằng,nguyen van tuan,Nguyễn Huy Tú,Akai Haruma,Ace Legona
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Xét ba số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 và \(x\le y\le z\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x}{y^3+16}+\dfrac{y}{z^3+16}+\dfrac{z}{x^3+16}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh (a^2+b^2)(a^4+b^4)>=(a^3+b^3)^2
bởi Bảo Lộc 05/11/2018
với a, b bất kì:
chứng minh: (a^2+b^2)(a^4+b^4)>=(a^3+b^3)^2
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm GTNN của A=x^2 + 3x + 2
bởi Nhat nheo 05/11/2018
Tìm GTNN:
a. A = x^2 + 3x + 2
B = 4x^2 + 4x + 8
C = x^2 - 5x - 3
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh a^2+b^2+c^2> = a(b+c)
bởi thủy tiên 22/10/2018
a^2+b^2+c^2> = a(b+c)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình mx2+m(x+1)-2(x-1)>0 nghiệm đúng với mọi x thuộc [-2;1]
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh (1-a)(1-b)(1-c)>=8abc với a,b,c>=0 và a+b+c=1
bởi thu thủy 22/10/2018
chứng minh (1-a)(1-b)(1-c)>=8abc với a,b,c>=0 và a+b+c=1
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh a/b^2+b/c^2+c/a^2>=1/a+1/b+1/c
bởi Việt Long 05/11/2018
Cho a,b,c là số dương. CMR
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm GTNN của P=(x+căn x+1)/căn x
bởi Vũ Hải Yến 05/11/2018
P = \(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
Tìm GTNN của P
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm GTNN của P=(x^2+1/y^2)(y^2+1/x^2)
bởi Đặng Ngọc Trâm 05/11/2018
Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất:
P= (\(x^2+\dfrac{1}{y^2}\)) ( \(y^2+\dfrac{1}{x^2}\))
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 4.83 trang 126 SBT Toán 10
Bài tập 4.84 trang 126 SBT Toán 10
Bài tập 77 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 78 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 79 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 80 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 81 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 82 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 83 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 84 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 85 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 86 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 87 trang 156 SGK Toán 10 NC