Giải bài 10 tr 107 sách GK Toán Đại số 10
Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng \(\frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \)
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có
\(\begin{array}{l}
\frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \\
\Leftrightarrow a\sqrt a + b\sqrt b \ge \sqrt a \sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a + b - \sqrt a \sqrt b } \right) \ge \sqrt a \sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\
\Leftrightarrow a + b - \sqrt a \sqrt b \ge \sqrt a \sqrt b \\
\Leftrightarrow \left( {{{\sqrt a }^2}} \right) + {\left( {\sqrt b } \right)^2} - 2\sqrt a \sqrt b \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0
\end{array}\)
(đúng với mọi a > 0, b > 0)
Do đó \(\frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \) (đpcm)
-- Mod Toán 10 HỌC247
-
Cho a,b,c \(\ge0\). CMR:
\(\dfrac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}+\dfrac{b^3c}{b^4+b^2c^2+c^4}+\dfrac{c^3a}{c^4+c^2a^2+a^4}\le1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
cho a,b,c >0, và \(a^2+b^2+c^2=3\):
CMR: \(\dfrac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{6a^2+8ba+11b^2}}+\dfrac{a^2+3ab+c^2}{\sqrt{6a^2+8ca+11c^2}}+\dfrac{c^2+3cb+b^2}{\sqrt{6c^2+8ca+11b^2}}\) \(\leq\) 3
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh căn(ab)/((a+1)(b+1)) < = 1/4
bởi Lê Vinh
06/11/2018
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{1}{4}\)với a,b>0
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho a;b;c là các số thực dương,tìm max của: \(A=\sqrt{\dfrac{a}{2a+b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2b+a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{2c+a+b}}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho các số a;b;c không âm .Chứng minh :
\(\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\sqrt[4]{16+\dfrac{196abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh 1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
bởi Bin Nguyễn
06/11/2018
cho các số dương a, b , c cmr
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>=\dfrac{9}{a+b+c}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a)\(\dfrac{x^2-8x+20}{mx^2+2\left(m+1\right)x +9m+4}< 0\)
b)\(\dfrac{3x^2-5x+4}{\left(m-4\right)x^2+\left(1+m\right)x+2m-1}\)<0
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C=|x+5|-|x-2|
bởi Nguyễn Hiền
09/04/2019
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
C= |x+5|-|x-2|
giải cụ thể nha
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
CMR trong mọi tam giác , ta có
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{36}{35}\left(p^2+\dfrac{abc}{p}\right)\) với p là nửa chu vi
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính GTLN của E=|x+1|-|x-4|
bởi Lê Chí Thiện
10/04/2019
Tính GTLN của E = |x+1| - |x-4|
Mọi người giúp mình nhé :3 (làm theo cách lập bảng xét dấu ạ)Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh căn(a+1009)+căn(b+2009)+căn(c+2009) < = 3016
bởi Tram Anh
06/11/2018
a,b,c>0;a+b+c=2.cmr: \(\sqrt{a+2009}+\sqrt{b+2009}+\sqrt{c+2009}\le3016\) . help me plz
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho a,b,c>0 và a+b+c=2
CMR: \(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}\)+\(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\)+\(\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}}\) \(\le\)\(\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm GTLN của A=ab+bc+ca biết a^3+2b ^2+5c^2=22
bởi bach hao
06/11/2018
Cho a,b,c thực thõa mãn a2+2b2+5c2=22.Tìm GTLN của biểu thức A=ab+ac+bc
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm min của (x^2+y^2+z^2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2)
bởi Nguyễn Anh Hưng
06/11/2018
Đề: Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y\le z\end{matrix}\right.\) tìm Min của \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\) Làm thế này không biết đúng ko
Ta có :A= \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\)
=> A \(=3+\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\left(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(A\ge3+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)=6+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)
Do \(x+y\le z\Rightarrow\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}\le1\) ; Đặt \(u=\dfrac{x}{z}\); \(v=\dfrac{y}{z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}=\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{v^2}\ge\dfrac{2}{uv}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(u+v\right)^2}{4}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)
\(\Rightarrow A\ge6+\dfrac{15}{16}.8=\dfrac{27}{2}\) Vậy minA = \(\dfrac{27}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{z}{2}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh 3x^3+17y^3>=18xy^2
bởi Thu Hang
06/11/2018
Chứng minh với x,y là 2 số không âm tùy ý, ta luôn có: \(3x^3+17y^3\ge18xy^2\)
Xài bđt Cauchy nha.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm GTLN của (x+z)(y+t) biết x^2+y^2+2z^2+2t^2=1
bởi Nguyen Ngoc
06/11/2018
Tìm gtln của (x + z)(y + t) biết x2 + y2 + 2z2 + 2t2 = 1
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh (x+y+z)+2(1/xy+1/yz+1/zx)+8/xyz>=121/12
bởi Lê Minh Trí
06/11/2018
Cho x,y,z >0 và xy\(\ge\)12 ,yz\(\ge8\) CMR:
(x+y+z) +2(\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\)) +\(\dfrac{8}{xyz}\) \(\ge\dfrac{121}{12}\)
Giải giúp mình với !!!
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
cho a ≥ 9 b≥4 c≥1 cmr:.....
\(ab\sqrt{c-1}+bc\sqrt{a-9}+ca\sqrt{b-4}\le\dfrac{11abc}{12}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính P=x+y+6/x+24/y biết x+y < = 6
bởi Thuy Kim
06/11/2018
Cho x,y là các số thực dƣơng thỏa mãn điều kiện:\(x+y\le6\) . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P=\(x+y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{24}{y}\)Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm min, max của (x+2y+1)/(x^2+y^2+7)
bởi Mai Hoa
06/11/2018
Tìm Min, Max: \(\dfrac{x+2y+1}{x^2+y^2+7}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh 2/(x^2+2y^2+3) < = 1/(xy+y+1)
bởi Anh Trần
06/11/2018
a, Cho hai số dương x,y . Cmr \(\dfrac{2}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{xy+y+1}\)
b, Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 . Tìm giá trị lớn ngất của biểu thức
Q=\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2 +2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh a/(b+c)+b/(c+a)+4c/(a+b) > 2
bởi Lê Viết Khánh
06/11/2018
a,b,c>0 CM: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b}>2\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm m để F(x)=-x^2+2(m+1)x-m^2+m-4 luôn âm với mọi x
bởi Ha Ku
06/11/2018
Biểu thức F(x) + -x2 +2(m+1)x -m2+m-4 luôn âm với mọi x khi :
A. m>1
B. m>3
C. m<3
D.m<1
Theo dõi (0) 1 Trả lời