Giải bài tập Hình học 10 Chương 2 Bài 2 Tích vô hướng của hai vectơ

Cho tam giác vuông cân ABC có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{ AB} .\overrightarrow{AC };\overrightarrow{ AC} .\overrightarrow{CB }\).

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng biết \(OA = a, OB = b\). Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}\) trong 2 trường hợp

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB

b) Điểm O nằm trong đoạn AB

Cho nửa đường tròn tâm O có  đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.

a) Chứng minh  \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}= \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)

B) Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R

Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4;2)

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;

b) Tính chu vi tam giác OAB;

c) Chứng tỏ rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ  và  trong các trường hợp sau :

a) \(\vec{a}= (2; -3)\) , \(\vec{b}= (6; 4)\)

b)  \(\vec{a} = (3; 2)\), \(\vec{b}= (5; -1)\)

c)  \(\vec{a} = (-2; -2 \sqrt3)\), \(\vec{b}= (3; \sqrt3)\)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0;-2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đói xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ băng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.

Cho hai vectơ a và vectơ b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0?

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \\
{\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \\
\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}
\end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a. Tính:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) rồi suy ra giá trị của góc A;

b) Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)

Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 11 cm.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng tỏ rằng tam giác ABC có góc A tù.

b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN}\)

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Cho hai véctơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 13\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\) và suy ra góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \({\overrightarrow a  + \overrightarrow b }\).

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA}  = \frac{1}{4}B{C^2}\).

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A = (2;4), B = (- 3;1) và C = (3;1). Tính:

a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành;

b) Tọa độ chân của đường cao vẽ từ đỉnh A.

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A = (-1; 1), B = (1; 3) và C = (1; -1)

Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân.

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1; -1), B(3; 1) và C(6; 0).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính góc B của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;4) và B(3;-2). Một điểm M di động trên trục hoành Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\).

Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(3; 4), B(4; 1), C(2; -3), D(-1; 6). Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.

Trong các trường hợp nào tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0 ?

Cho tam giác ABC. Tổng 

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} } \right)\)

có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 90⁰; 180⁰; 270⁰; 360⁰ ?

Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 30⁰. Tính giá trị của các biểu thức sau

a) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \sin \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \tan \frac{{\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)}}{2}\)

b) \(\sin \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right)\)

Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB}  =  0 \).

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = A{B^2}\)

Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF}  = 0\).

Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM, BN.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \)

b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo R.

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B, trên b có hai điểm C và D đều khác M sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a và một số k². Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA²−MB² = k²

Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u  = \frac{1}{2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j \).

a) Tìm các giá trị của k để \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \);

b) Tìm các giá trị của k để \(\left| {\overrightarrow u } \right| \bot \left| {\overrightarrow v } \right|\).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(−4;1), B(2;4), C(2;−2).

a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm I, G, H.