Bài tập 2.18 trang 92 SBT Hình học 10

Cần chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Ta có: \(2\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} \) (vì M là trung điểm của đoạn HD).

\(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD} \)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD} } \right)\\
 = \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH}  + \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}\\
 \Rightarrow 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} \\
 = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HD} } \right).\overrightarrow {BH} \\
 = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
 = \overrightarrow {HD} .\underbrace {\left( {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} } \right)}_{ = \overrightarrow {AC} } = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  = 0
\end{array}\)

Vậy AM vuông góc với BD.

-- Mod Toán 10 HỌC247