Giải bài 8 tr 8 sách GK Toán GT lớp 12 Nâng cao
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\sin x < x\) với mọi x > 0, \(\sin x > x\) với mọi x < 0.
b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x\neq 0\)
c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0;
\(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Hàm số f(x) = x - sinx liên tục trên nữa khoảng \(\left [0; \frac{\pi }{2} \right )\) và có đạo hàm f'(x) = 1- cosx > 0 với mọi \(x\in \left (0; \frac{\pi }{2} \right )\) ta có:
\(f(x)>f(0)=0\)
\(\Rightarrow x-sinx>0 \ \forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\)
Với \(x\geq \frac{\pi }{2}\) thì \(x> 1\geq sinx\)
Vậy sinx < x với mọi x > 0.
Với mọi x < 0 ta có -x > 0, áp dụng chứng minh trên ta có:
\(sin(-x)<-x\)
\(\Rightarrow -sinx<-x\Rightarrow sinx>x\)
Vậy sinx > với mọi x < 0.
b) Hàm số \(g(x)=cosx+\frac{x^2}{2}-1\) liên tục trên \([0;+ \infty )\) và có đạo hàm g'(x) = x - sin x
Theo câu a) g'(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g đồng biến trên \([0;+ \infty )\) khi đó ta có:
g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0, tức là \(cosx+\frac{x^2}{2}-1>0\) với mọi x > 0
hay \(cosx>1-\frac{x^2}{2}\) với mọi x > 0 (1)
Với mọi x < 0 thì x > 0 nên theo (1) ta có:
\(cos(-x)>1-\frac{(-x)^2}{2}\Leftrightarrow cosx>1-\frac{x^2}{2}\)
với mọi x < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(cosx>1-\frac{x^2}{2}\) với mọi \(x\neq 0\).
c) Hàm số \(h(x)=sinx-x+\frac{x^3}{6}\) có đạo hàm \(h'(x)=cosx-1+\frac{x^2}{2}>0\) với mọi \(x\neq 0\) (câu b)
Do đó h đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên ta có:
\(h(x)>h(0)=0, \forall x> 0\)
và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)
Từ đó suy ra \(sinx> x-\frac{x^3}{6}\) với mọi x > 0
\(sinx< x-\frac{x^3}{6}\) với mọi x < 0.
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Ac giải hộ em với ạ :((Theo dõi (0) 0 Trả lời
-
Số các giá trị nguyên thỏa mãn là?
bởi Hoàngg Phương
20/05/2020
Câu 37
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
F’(x)=x(x-2)^3 nghịch biến trên khoảng nào
bởi Trần Nụ
17/05/2020
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Với giá trị nào của mm thì hàm số y=(m+1)x+2m+2x+my=(m+1)x+2m+2x+m nghịch biến trong khoảng (−1; ∞)(−1; ∞)
bởi Trương Ngọc Khánh Dương
10/05/2020
Với giá trị nào của mm thì hàm số y=(m+1)x+2m+2x+my=(m+1)x+2m+2x+m nghịch biến trong khoảng (−1; ∞)(−1; ∞)
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Hàm số y=g(x)=f(x2-4x) đồng biến trên khoảng nào
bởi Trần Thị Tố Như
04/05/2020
Theo dõi (1) 4 Trả lời -
Tìm tập nghiệm của bất phương trình -1
bởi Minh Vương
24/04/2020
Thầy cô giải giúp em với ạTheo dõi (0) 10 Trả lời -
Theo dõi (0) 2 Trả lời
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y=(mx-9)/(x-m) đồng biến trên khoảng 2 đến dương vô cùng
bởi anhh
20/04/2020
helpTheo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính đạo hàm của hàm số y = ( x^2+x+1)^1/3
bởi Lê Thanh Ánh
16/04/2020
Tính đạo hàm của hàm số y = ( x^2+x+1)^1/3
Theo dõi (1) 3 Trả lời