Bài tập 8 trang 8 SGK Toán 12 NC
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x < x với mọi x > 0, sin x > x với mọi x < 0
b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x \ne 0\)
c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0, \(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Hàm số f(x) = x - sinx liên tục trên nửa khoảng \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm f'(x) = 1 - cosx > 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Do đó hàm số đồng biến trên \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), từ đó với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có:
\(f(x) > f(0) = 0 \Rightarrow x - \sin x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Với \(x \ge \frac{\pi }{2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\)
Vậy sinx < x với mọi x > 0
* Với mọi x < 0, áp dụng chứng minh trên ta có:
sin(-x) < - x ⇒ -sinx < -x ⇒ sinx > x
Vậy sinx > x với mọi x < 0
b) Hàm số \(g(x) = \cos x + \frac{{{x^2}}}{{2 - x}}\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm g'(x) = x - sinx
Theo câu a) g'(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có:
g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0, tức là \(\cos x + \frac{{{x^2}}}{2} - 1 > 0\) với mọi x > 0 hay \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x > 0 (1)
Với mọi x < 0 nên theo (1) ta có:
\(\cos ( - x) > 1 - \frac{{{{( - x)}^2}}}{2} \Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x
Từ (1) và (2) suy ra \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x \ne 0\)
c) Hàm số \(h(x) = \sin x - x + \frac{{{x^3}}}{6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + \frac{{{x^2}}}{2} > 0\) với mọi x khác 0 (câu b)
Do đó h đồng biến trên R nên ta có:
\(h(x) > h(0) = 0,\forall x > 0\) và \(h(x) < h(0) = 0,\forall x < 0\)
Từ đó suy ra: \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0
\(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Giải bất phương trình: \((\sqrt{x+4}-1)\sqrt{x+2}\geq \frac{x^3+4x^2+3x-2(x+3)\sqrt[3]{2x+3}}{\sqrt{x+4}+1}\)
bởi Thùy Trang 07/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Giải bất phương trình: \((\sqrt{x+4}-1)\sqrt{x+2}\geq \frac{x^3+4x^2+3x-2(x+3)\sqrt[3]{2x+3}}{\sqrt{x+4}+1}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+5x^2+10x-3y+6=0\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{4-y}=x^3+y^2-4x-2y \end{matrix}\right.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình \((x+\sqrt{x-4})^2+\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+2x+\sqrt{x-4}=50\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số \(y=x^3+mx^2+7x+3\). Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Theo dõi (1) 1 Trả lời -
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x^3+3x^2+6x+4=y^3+3y\\ x^3(3y-7)=1-\sqrt{(1+x^2)^3} \end{matrix}\right.\) với \((x,y\in R)\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1}
bởi bach hao 08/02/2017
Help me!
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1}\\ x^2(4y^2+1)+2(x^2+1)\sqrt{x}=6 \end{matrix}\right.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ).\left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1
bởi Nguyễn Sơn Ca 07/02/2017
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ).\left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1\\ x\sqrt{6x-2xy+1}=4xy+6x+1 \end{matrix}\right.\; \; (x,y\in R).\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình: \((x+2)(\sqrt{x^{2}+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^{2}+3}+1)=0\)
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} xy+2=y\sqrt{x^{2}+2}\\y^{2}+2(x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=2x^{2}-4x \end{matrix}\right.(x,y\in R).\)
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Giải hệ phương trình: \(\small \left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x(x^2-3x+3)}=\sqrt[3]{y+2}+\sqrt{y+3}+1
bởi Thuy Kim 08/02/2017
Giải hệ phương trình: \(\small \left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x(x^2-3x+3)}=\sqrt[3]{y+2}+\sqrt{y+3}+1\\ 3\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-6x+6}=\sqrt[3]{y+2}+1 \end{matrix}\right.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{4+x^{2}})(y+\sqrt{4+y^{2}})=4
bởi Lê Nhật Minh 06/02/2017
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{4+x^{2}})(y+\sqrt{4+y^{2}})=4\\2\sqrt{xy^{2}+1}+\sqrt{12+x^{2}y}=8 \end{matrix}\right.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x-y)+4=0
bởi ngọc trang 08/02/2017
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x-y)+4=0\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x^{2}+y^{2}-2(x+y)=18 \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm các giá trị m ≠ 3 để hàm số (1) đồng biến trên các khoảng xác định của nó
bởi thuy linh 08/02/2017
Cho hàm số \(y=\frac{2x-m-1}{x-2}\ \ (1)\). Tìm các giá trị m ≠ 3 để hàm số (1) đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
Theo dõi (0) 1 Trả lời