Bài tập 1.4 trang 8 SBT Toán 12

a) \({y = x - \sin x,x \in \left[ {0;2\pi } \right]}\)

\(y' = 1 - \cos x \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\)

Dâu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và \(x = 2\pi \).

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

b) Xét hàm số \(y = \sin \frac{1}{x}\) với x > 0

\(y' =  - \frac{1}{{{x^2}}}cos\frac{1}{x}\).

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0;+∞):

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{x^2}}}\left( { - \cos \frac{1}{x}} \right) > 0 \Leftrightarrow \cos \frac{1}{x} < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{\pi }{2}\left( {1 + 4k} \right) < \frac{1}{x} < \frac{\pi }{2}\left( {3 + 4k} \right),k = 0,1,2...\\
 \Leftrightarrow \frac{2}{{\pi \left( {1 + 4k} \right)}} > x > \frac{2}{{\pi \left( {3 + 4k} \right)}},k = 0,1,2...
\end{array}\)

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng

\(...,\left( {\frac{2}{{\left( {4k + 3} \right)\pi }};\frac{2}{{\left( {4k + 1} \right)\pi }}} \right),\left( {\frac{2}{{\left( {4k - 1} \right)\pi }};\frac{2}{{\left( {4k - 3} \right)\pi }}} \right)\)

\(,...,\left( {\frac{2}{{7\pi }};\frac{2}{{5\pi }}} \right),\left( {\frac{2}{{3\pi }};\frac{2}{\pi }} \right)\)

và nghịch biến trên các khoảng

\(...,\left( {\frac{2}{{\left( {4k + 1} \right)\pi }};\frac{2}{{\left( {4k - 1} \right)\pi }}} \right),...,\left( {\frac{2}{{5\pi }};\frac{2}{{3\pi }}} \right)\)

\(,\left( {\frac{2}{\pi }; + \infty } \right)\) với k = 0, 1, 2,...

-- Mod Toán 12 HỌC247