Bài tập 9 trang 9 SGK Toán 12 NC
Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Hàm số f(x) = sin x + tan x – 2x liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm
\(f'(x) = \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2\)
Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên 0 < cosx < 1 => cos x > cos2 x
\( \Rightarrow \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2 > {\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2 > 0\)
(vì \({\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 2\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Do đó f'(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Suy ra hàm số f đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Khi đó ta có f(x) > f(0) = 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) tức là sinx + tanx > 2x với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Giải phương trình \(\small 2x^3+9x^2-6x(1+2\sqrt{6x-1})+2\sqrt{6x-1}+8=0\)
Theo dõi (0) 3 Trả lời