YOMEDIA

# Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

## 37 BT SGK

598 FAQ

Giải bài 5 tr 113 sách GK Toán GT lớp 12

Tính các tích phân sau:

a) $$\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx$$;

b) $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx$$;

c) $$\int_{1}^{2}\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx$$.

## Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Câu a:

Đặt u = 1 + 3x ta có: du = 3dx

Khi x = 0 thì u = 1; khi x = 1 thì u = 4.

Do đó: $$\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{4}u^{\frac{3}{2}}du$$

$$=\frac{1}{3}\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \Bigg|_{0}^{4}= \frac{2}{15}(4^{\frac{5}{2}}-1)=\frac{62}{15}$$

Câu b:

$$\begin{array}{l}\,\,\,\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}}\\= \dfrac{1}{8} + \ln \dfrac{3}{2}\end{array}$$

Câu c:

$$\left\{\begin{matrix} u=ln(1+x)\\ dv=\frac{dx}{x^2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{1+x}dx\\ v=-\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$$

Ta có:

$$\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx =-\frac{1}{x}ln(1+x) \Bigg|^2_1+ \int_{1}^{2} \frac{dx}{x(1+x)}$$

$$=-\frac{1}{2}ln 3+ln 2 +\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(1+x)}$$

Xét $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x+1)x}$$. Ta có: $$\frac{1}{x(1+x)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$$

Do đó:

$$\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(x+1)}=\int_{1}^{2}\left ( \frac{1}{x}- \frac{1}{x+1} \right )dx=\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{1}^{2}\frac{dx}{x+1}$$

$$=lnx \Bigg|^2_1-ln(1+x)\Bigg|^2_1=ln2 -ln3+ln2$$

Vậy $$\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^2}dx=-\frac{1}{2}ln3 +ln2 +ln2-ln3+ln2$$

$$=3ln2-\frac{3}{2}ln3=ln8-\frac{3}{2}ln3=3ln \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

-- Mod Toán 12 HỌC247

### Video hướng dẫn giải bài 5 SGK

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ
YOMEDIA
• ### Tính tích phân sau: $$\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {x - {e^{ - x}}} \right)dx}$$

bởi hoàng duy 25/05/2021

Tính tích phân sau: $$\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {x - {e^{ - x}}} \right)dx}$$

Theo dõi (0)
• ### Tính tích phân sau: $$\int\limits_2^5 {{{\left( {3x - 4} \right)}^4}dx}$$.

bởi Tuấn Tú 25/05/2021

Tính tích phân sau: $$\int\limits_2^5 {{{\left( {3x - 4} \right)}^4}dx}$$.

Theo dõi (0)
• ### Tính tích phân sau: $$\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} + {3 \over {x + 1}}} \right)dx}$$.

bởi thu thủy 25/05/2021

Tính tích phân sau: $$\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} + {3 \over {x + 1}}} \right)dx}$$.

Theo dõi (0)
• ### Tính tích phân sau: $$\int\limits_2^4 {{{\left( {x + {1 \over x}} \right)}^2}dx}$$.

bởi Đan Nguyên 24/05/2021

Tính tích phân sau: $$\int\limits_2^4 {{{\left( {x + {1 \over x}} \right)}^2}dx}$$.

Theo dõi (0)
• ### Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R{0;-1} thỏa mãn

bởi Linh Võ 14/05/2021

Theo dõi (0)
• ### $$\int\limits_0^1 {\sin \sqrt x dx}$$ bằng đáp án nào dưới đây?

bởi Dang Thi 10/05/2021

A. $$2\left( {\sin 1 - \cos 1} \right)$$

B. $$\sin 1 - \cos 1$$

C. $$2\left( {\cos 1 - \sin 1} \right)$$

D. $$2\left( {\sin 1 + \cos 1} \right)$$

Theo dõi (0)
• ### Đối với tích phân $$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx}$$, thực hiện đổi biến số $$t = \tan x$$ ta được:

bởi Sasu ka 09/05/2021

A. $$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {tdt}$$

B. $$\int\limits_{ - 1}^0 {tdt}$$

C. $$\int\limits_0^1 {tdt}$$

D. $$- \int\limits_0^1 {tdt}$$

Theo dõi (0)
• ### $$\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}$$ bằng đáp án:

bởi Nhi Nhi 10/05/2021

A. $$- 1 - \dfrac{1}{e}$$

B. $$1 - \dfrac{2}{e}$$

C. $$- 1 + \dfrac{2}{e}$$

D. $$0$$

Theo dõi (0)
• ### $$\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{{\sin 2x\sin x}}{2} + {{\cos }^3}x} \right)dx}$$ bằng:

bởi Tieu Giao 10/05/2021

A. $$2$$

B. $$- 1$$

C. $$\pi$$

D. $$- \pi$$

Theo dõi (0)
• ### $$\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x - {x^3}} \right|dx}$$ bằng:

bởi Huy Hạnh 10/05/2021

A. $$\dfrac{1}{2}$$

B. $$2$$

C. $$- 1$$

D. $$0$$

Theo dõi (0)
• ### Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:$$\int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx}$$.

bởi bich thu 09/05/2021

A. $$\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx}$$

B. $$\int\limits_0^\pi {2\sin xdx}$$

C. $$\int\limits_0^\pi {\sin xdx} - \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx}$$

D. $$- \int\limits_0^{2\pi } {2\sin xdx}$$

Theo dõi (0)
• ### Đặt $${I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}$$. Chứng minh rằng $${I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2$$.

10/05/2021

Đặt $${I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}$$. Chứng minh rằng $${I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2$$.

Theo dõi (0)
• ### Giả sử hàm số $$f\left( x \right)$$ liên tục trên đoạn $$\left[ {a;b} \right]$$. Chứng minh rằng: $$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx}$$

bởi Thuy Kim 09/05/2021

Giả sử hàm số $$f\left( x \right)$$ liên tục trên đoạn $$\left[ {a;b} \right]$$. Chứng minh rằng: $$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx}$$

Theo dõi (0)
• ### Giả sử hàm số $$f\left( x \right)$$ liên tục trên đoạn $$\left[ { - a;a} \right]$$. Chứng minh rằng: $$\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_0^a {f(x)dx} \,\,\left( 1 \right)\\0,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$$

bởi Thùy Nguyễn 10/05/2021

(1): nếu $$f$$ là hàm số chẵn.

(2): nếu $$f$$ là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: $$\int\limits_{ - 2}^2 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx}$$

Theo dõi (0)
• ### Chứng minh rằng hàm số $$f\left( x \right)$$ cho bởi $$f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}$$ là hàm số chẵn.

bởi Naru to 10/05/2021

Chứng minh rằng hàm số $$f\left( x \right)$$ cho bởi $$f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}$$ là hàm số chẵn.

Theo dõi (0)
• ### Tính tích phân sau đây: $$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}}$$.

bởi Hoàng My 10/05/2021

Tính tích phân sau đây: $$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}}$$.

Theo dõi (0)
• ### Tính tích phân sau đây: $$I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}} dx$$.

bởi Hồng Hạnh 10/05/2021

Tính tích phân sau đây: $$I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}} dx$$.

Theo dõi (0)

AANETWORK

YOMEDIA