Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

37 BT SGK

598 FAQ

Giải bài 5 tr 113 sách GK Toán GT lớp 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\);

b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\);

c) \(\int_{1}^{2}\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx\).

ANYMIND360

Toán 12 Chương 3 Bài 2 Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 2 Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 2

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Câu a:

Đặt u = 1 + 3x ta có: du = 3dx

Khi x = 0 thì u = 1; khi x = 1 thì u = 4.

Do đó: \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{4}u^{\frac{3}{2}}du\)

\(=\frac{1}{3}\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \Bigg|_{0}^{4}= \frac{2}{15}(4^{\frac{5}{2}}-1)=\frac{62}{15}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}}\\= \dfrac{1}{8} + \ln \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Câu c:

\(\left\{\begin{matrix} u=ln(1+x)\\ dv=\frac{dx}{x^2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{1+x}dx\\ v=-\frac{1}{x} \end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx =-\frac{1}{x}ln(1+x) \Bigg|^2_1+ \int_{1}^{2} \frac{dx}{x(1+x)}\)

\(=-\frac{1}{2}ln 3+ln 2 +\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(1+x)}\)

Xét \(\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x+1)x}\). Ta có: \(\frac{1}{x(1+x)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)

Do đó:

\(\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(x+1)}=\int_{1}^{2}\left ( \frac{1}{x}- \frac{1}{x+1} \right )dx=\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{1}^{2}\frac{dx}{x+1}\)

\(=lnx \Bigg|^2_1-ln(1+x)\Bigg|^2_1=ln2 -ln3+ln2\)

Vậy \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^2}dx=-\frac{1}{2}ln3 +ln2 +ln2-ln3+ln2\)

\(=3ln2-\frac{3}{2}ln3=ln8-\frac{3}{2}ln3=3ln \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Video hướng dẫn giải bài 5 SGK

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ

Tính tích phân sau: \(\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {x - {e^{ - x}}} \right)dx} \)

bởi hoàng duy 25/05/2021

Tính tích phân sau: \(\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {x - {e^{ - x}}} \right)dx} \)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Tính tích phân sau: \(\int\limits_2^5 {{{\left( {3x - 4} \right)}^4}dx} \).

bởi Tuấn Tú 25/05/2021

Tính tích phân sau: \(\int\limits_2^5 {{{\left( {3x - 4} \right)}^4}dx} \).

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} + {3 \over {x + 1}}} \right)dx} \).

bởi thu thủy 25/05/2021

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} + {3 \over {x + 1}}} \right)dx} \).

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Tính tích phân sau: \(\int\limits_2^4 {{{\left( {x + {1 \over x}} \right)}^2}dx} \).

bởi Đan Nguyên 24/05/2021

Tính tích phân sau: \(\int\limits_2^4 {{{\left( {x + {1 \over x}} \right)}^2}dx} \).

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R{0;-1} thỏa mãn

bởi Linh Võ 14/05/2021

Theo dõi (0) 0 Trả lời
\(\int\limits_0^1 {\sin \sqrt x dx} \) bằng đáp án nào dưới đây?

bởi Dang Thi 10/05/2021

A. \(2\left( {\sin 1 - \cos 1} \right)\)

B. \(\sin 1 - \cos 1\)

C. \(2\left( {\cos 1 - \sin 1} \right)\)

D. \(2\left( {\sin 1 + \cos 1} \right)\)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Đối với tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), thực hiện đổi biến số \(t = \tan x\) ta được:

bởi Sasu ka 09/05/2021

A. \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {tdt} \)

B. \(\int\limits_{ - 1}^0 {tdt} \)

C. \(\int\limits_0^1 {tdt} \)

D. \( - \int\limits_0^1 {tdt} \)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
\(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} \) bằng đáp án:

bởi Nhi Nhi 10/05/2021

A. \( - 1 - \dfrac{1}{e}\)

B. \(1 - \dfrac{2}{e}\)

C. \( - 1 + \dfrac{2}{e}\)

D. \(0\)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
\(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{{\sin 2x\sin x}}{2} + {{\cos }^3}x} \right)dx} \) bằng:

bởi Tieu Giao 10/05/2021

A. \(2\)

B. \( - 1\)

C. \(\pi \)

D. \( - \pi \)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
\(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x - {x^3}} \right|dx} \) bằng:

bởi Huy Hạnh 10/05/2021

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(2\)

C. \( - 1\)

D. \(0\)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:\(\int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} \).

bởi bich thu 09/05/2021

A. \(\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx} \)

B. \(\int\limits_0^\pi {2\sin xdx} \)

C. \(\int\limits_0^\pi {\sin xdx} - \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx} \)

D. \( - \int\limits_0^{2\pi } {2\sin xdx} \)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\). Chứng minh rằng \({I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\).

bởi Nguyễn Thị An 10/05/2021

Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\). Chứng minh rằng \({I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\).

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)

bởi Thuy Kim 09/05/2021

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\). Chứng minh rằng: \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_0^a {f(x)dx} \,\,\left( 1 \right)\\0,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

bởi Thùy Nguyễn 10/05/2021

(1): nếu \(f\) là hàm số chẵn.

(2): nếu \(f\) là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \)

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right)\) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}\) là hàm số chẵn.

bởi Naru to 10/05/2021

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right)\) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}\) là hàm số chẵn.

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Tính tích phân sau đây: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}} \).

bởi Hoàng My 10/05/2021

Tính tích phân sau đây: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}} \).

Theo dõi (0) 1 Trả lời
Tính tích phân sau đây: \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}} dx\).

bởi Hồng Hạnh 10/05/2021

Tính tích phân sau đây: \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}} dx\).

Theo dõi (0) 1 Trả lời