YOMEDIA
NONE

Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Giải bài 5 tr 113 sách GK Toán GT lớp 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\);        

b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\);

c) \(\int_{1}^{2}\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx\).

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Câu a:

Đặt u = 1 + 3x ta có: du = 3dx

Khi x = 0 thì u = 1; khi x = 1 thì u = 4.

Do đó: \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{4}u^{\frac{3}{2}}du\)

 \(=\frac{1}{3}\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \Bigg|_{0}^{4}= \frac{2}{15}(4^{\frac{5}{2}}-1)=\frac{62}{15}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}}\\= \dfrac{1}{8} + \ln \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Câu c:

\(\left\{\begin{matrix} u=ln(1+x)\\ dv=\frac{dx}{x^2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{1+x}dx\\ v=-\frac{1}{x} \end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx =-\frac{1}{x}ln(1+x) \Bigg|^2_1+ \int_{1}^{2} \frac{dx}{x(1+x)}\)

\(=-\frac{1}{2}ln 3+ln 2 +\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(1+x)}\)

Xét \(\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x+1)x}\). Ta có: \(\frac{1}{x(1+x)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)

Do đó:

\(\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(x+1)}=\int_{1}^{2}\left ( \frac{1}{x}- \frac{1}{x+1} \right )dx=\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{1}^{2}\frac{dx}{x+1}\)

\(=lnx \Bigg|^2_1-ln(1+x)\Bigg|^2_1=ln2 -ln3+ln2\)

Vậy \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^2}dx=-\frac{1}{2}ln3 +ln2 +ln2-ln3+ln2\)

\(=3ln2-\frac{3}{2}ln3=ln8-\frac{3}{2}ln3=3ln \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Video hướng dẫn giải bài 5 SGK

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF