Hỏi đáp về Tích phân

Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} \). Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\). Từ đó hãy tính \({I_6}\) và \({I_7}\) 

Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^n}xdx} \). Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\). Từ đó hãy tính \({I_5}\)

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} \) 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^\pi  {{x^3}\sin xdx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\left( {2x - 1} \right){\rm{cos}}xdx} \). 

Hãy tính \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} \)

Cho a > 0. Chứng minh rằng: \(\int\limits_\alpha ^\beta  {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \)  trong đó r và k là các số thực thỏa mãn \({\rm{tan}}r = {\beta  \over a},\tan k = {\alpha  \over a}\). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{1 \over {1 + c{\rm{os}}x}}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^2 {x\sqrt {{x^2} + 3} dx} \)

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi  \over {12}}} {{1 \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}3x\left( {1 + \tan 3x} \right)}}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{{\rm{cos}}x} \over {1 + \sin x}}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_{10}^{12} {{{2x + 1} \over {{x^2} + x - 2}}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {{{2{x^2}} \over {{x^3} + 1}}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^1 {{{2x} \over {{x^2} + 1}}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^2 {{3 \over {1 - 2x}}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_4^5 {{{\left( {{x^2} + {1 \over x}} \right)}^2}dx} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{16} {{{dx} \over {\sqrt {x + 9}  - \sqrt x }}} \). 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^2 {\left| {1 - x} \right|dx} \) 

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^\pi  {\left| {{\rm{cos}}x} \right|dx} \). 

Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 1,2 + {{{t^2} + 4} \over {t + 3}}\left( {m/s} \right)\). Tính quãng đường vật đó đi được tròn 4 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Vận tốc của một vật chuyển động là \(v\left( t \right) = {1 \over {2\pi }} + {{\sin \left( {\pi t} \right)} \over \pi }\left( {m/s} \right)\)  Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tính \(\int\limits_{{1 \over e}}^e {\left| {\ln x} \right|dx} \) 

Giả sử M và m theo thứ tự là gái trị lớn nhấ và nhỏ nhất của hàm số f trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng: \(m\left( {b - a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge M\left( {b - a} \right)} \).