Hỏi đáp về Tích phân

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(x+\sin\left(x\right)\right)\cos\left(x\right)\)

Cho p,q > 0 : \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1;u,v\ge0\)

CHứng minh rằng \(u.v\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\)

Cho f,g : \(\left[a,b\right]\rightarrow R\) Liên tục và p,q ở câu (a) ta luôn có :
\(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right).g\left(x\right)\right|dx\le\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx\right)^{\dfrac{1}{p}}\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx\right)^{\dfrac{1}{q}}\)

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^1_0\left(y-1\right)^2\sqrt{y}dy\), đặt \(t=\sqrt{y}\)

b) \(\int\limits^2_1\left(x^2+1\right)\sqrt[3]{\left(z-1\right)^2}dz\), đặt \(u=\sqrt[3]{z-1}\)

c) \(\int\limits^e_1\dfrac{\sqrt{4+5\ln x}}{x}dx\)

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\cos^5\varphi-\sin^5\varphi\right)d\varphi\)

e) \(\int\limits^{\pi}_0\cos^3\alpha\cos3\alpha d\alpha\)

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\cos2x.\cos^2xdx\)

b) \(\int\limits^1_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{e^x}{e^{2x}-1}dx\)

c) \(\int\limits^1_0\dfrac{x+2}{x^2+2x+1}\ln\left(x+1\right)dx\)

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{x\sin x+\left(x+1\right)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx\)

1/ I=\(\int\limits^1_0\)\(\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}\)

2/J=\(\int\limits^1_0\)\(xln\left(2x+1\right)dx\)

3/K=\(\int\limits^3_2ln\left(x^3-3x+2\right)dx\)

4/I=\(\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\)\(\frac{tan^4xdx}{cos2x}\)

5/J=\(\int\limits^3_1\)\(\frac{3+lnx}{\left(x+1\right)^2}dx\)

6/K=\(\int\limits^1_0\)\(\frac{\left(2+xe^x\right)}{x^2+2x+1}dx\)

Tính tích phân sau : 

              \(I=\int\limits^5_1\left(\frac{x}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\ln x}{\left(x+1\right)^2}\right)dx\)

Tính tích phân sau :

\(\int\limits^2_1\frac{\ln\left(x+1\right)}{x^2}\)

Tính tích phân :

\(\int\limits^e_1x^2\ln xdx\)

Tính tích phân :

\(\int\limits^e_1\ln^3xdx\)

Tính tích phân :

\(\int\limits^3_2\ln\left(x^2-x\right)dx\)

Tính tích phân :

\(\int\limits^e_1x^3\ln^2xdx\)

Tính tích phân : \(I=\int\limits^2_0\frac{x^5}{\sqrt{x^3+1}}dx\)

Tính tích phân :

                \(I=\int\limits^e_1\frac{\ln^2x}{x\left(1+2\ln x\right)}dx\)

Tính tích phân :

\(\int\limits^2_1\frac{\ln x}{x^3}dx\)

Tính tích phân :

                  \(I=\int\limits^4_1\frac{x^3+\ln\left(5-x\right)}{x^2}dx\)

Tính tích phân : \(I=\int\limits^1_0\left(x-e^{2x}\right)xdx\)

\(\int\limits^e_1\frac{1}{x\left(lnx+2\right)}dx\)

Tính các tích phân:

a) \(\int\limits^1_0\)\(\dfrac{xe^x+1+x}{e^x+1}\)dx

b)\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\)\(\dfrac{1-\sin\left(x\right)}{1+\cos\left(x\right)}\)dx

c)\(\int\limits^2_1\)\(\dfrac{\left(x-1\right)ln\left(x\right)}{x^2}\)dx

d)\(\int\limits^e_1\)ln( x + 1)dx

\(\int\limits^2_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx\)

Tính tích phân :

\(\int^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{x}{\cos^2x}dx\)

Tính tích phân :

\(\int^{\frac{\pi}{2}}_0x^2\cos xdx\)

Tính tích phân :

\(\int^{\frac{\pi}{2}}_0x\sin^2xdx\)

Tính tích phân :

\(\int^2_0\frac{x^2e^x}{\left(x+2\right)^2}dx\)

Tính tích phân :

\(\int^1_0x^3e^{x^2}dx\)

\(\int\limits^{\frac{Π}{2}}_{\frac{Π}{6}}\frac{1+SIN2x+cOS2x}{sINx+cosx}dx\)