YOMEDIA
NONE

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\). Chứng minh rằng: \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_0^a {f(x)dx} \,\,\left( 1 \right)\\0,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

(1): nếu \(f\) là hàm số chẵn.

(2): nếu \(f\) là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Hy Vũ

    Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\), ta có: \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx}  = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}  + \int\limits_0^a {f(x)dx} \)

    Đổi biến \(x =  - t\) đối với tích phân \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \), ta được:

    \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}  =  - \int\limits_a^0 {f( - t)dt} \)\( = \int\limits_0^a {f(t)dt}  = \int\limits_0^a {f(x)dx} \)

    Vậy \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)

    Trường hợp sau chứng minh tương tự.

    Áp dụng:

    Ta có: \(g( - x) = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {{\left( { - x} \right)}^2}} } \right)\)\( = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) \( = \ln \left( {\dfrac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\) \( =  - \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) =  - g\left( x \right)\)

    Nên \(g(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0} \)

      bởi Hy Vũ 10/05/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF