YOMEDIA
NONE

Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC

Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_1^2 {x^5}\ln xdx\\
b)\int \limits_0^1 \left( {x + 1} \right){e^x}dx\\
c)\int \limits_0^\pi  {e^x}\cos xdx\\
d)\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos xdx
\end{array}\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = lnx\\
dv = {x^5}dx
\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \frac{{{x^6}}}{6}
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}\ln x} \right|_1^2 - \frac{1}{6}\int\limits_1^2 {{x^5}} dx\\
 = \left. {\left( {\frac{{{x^6}}}{6}\ln x - \frac{{{x^6}}}{{36}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{32}}{3}\ln 2 - \frac{7}{4}
\end{array}\)

b) Đặt 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x + 1}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right.}\\
\begin{array}{l}
\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx\\
 = \left. {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}} dx = e
\end{array}
\end{array}\)

c) Đặt \(I = \int \limits_0^\pi  {e^x}\cos xdx\)

Đặt 

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {e^x}}\\
{dv = \cos xdx}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = {e^x}dx}\\
{v = \sin x}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow I = \left. {{e^x}\sin x} \right|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}} {\rm{sinx}}dx\\
 =  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}} {\rm{sinx}}dx
\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^x}\\
dv = sinxdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = {e^x}dx\\
v =  - \cos x
\end{array} \right.\)

Do đó: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
I =  - \left[ {( - {e^x}cosx)|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {{e^x}} \cos xdx} \right]\\
 = {e^\pi }\cos \pi  - {e^0}.\cos 0 - I
\end{array}\\
{ \Rightarrow 2I =  - {e^\pi } - 1 \Rightarrow I =  - \frac{1}{2}\left( {{e^\pi } + 1} \right)}
\end{array}\)

d) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \sin x
\end{array} \right.\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} x \cos xdx = x\sin x|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x} dx\\
 = (x\sin x + \cos x)|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2} - 1
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF