Toán 12 Bài 2: Tích phân

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

- Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Trong trường hợp \(a

2.2. Tính chất của tích phân

- Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.

+ \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)

+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)

+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)

+ \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)

+ \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)

2.3. Một số phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

- Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\) Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)

- Các phương pháp đổi biến số thường gặp:

+ Cách 1: Đặt \(u = u(x)\) (\(u\) là một hàm theo \(x\)).

+ Cách 2: Đặt \(x=x(t)\) (\(x\) là một hàm theo \(t\)).

b) Phương pháp tích phân từng phần

- Định lí: Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\)

b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\)

Lời giải:

a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)

\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\)

b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)

Ví dụ 2:

Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)

b) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)

c) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}\)

Lời giải:

a) Đặt: \(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)

\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t - 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)

b) Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} - 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)

Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} - 1} \right)t.tdt} = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)

c) Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)

Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{6}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}\)

Ví dụ 3:

Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)

b) \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} - 1)\ln xdx}\)

Lời giải:

a) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).

b) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} - 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} - 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} - 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 3}}{3}} dx = \frac{{2\ln 2}}{3} - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} - x} \right)} \right|_1^2\)\(= \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}\).

4. Luyện tập Bài 2 Chương 3 Toán 12

Khái niệm Tích phân được giới thiệu sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế thừa và phát triển của bài học trước. Tương tự bài học Nguyên hàm, bài Tích phân sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích tính phân là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần được xây dựng trên nền tảng Nguyên hàm của một hàm số.

4.1 Trắc nghiệm

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\)

Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx.}\)
- A. I=2
- B. I=-1
- C. I=6
- D. I=8
Câu 2:
Tính \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) biết \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5;\,\int\limits_b^d {f\left( x \right)} = 2\) với \(a < b < d\).
- A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = -2\)
- B. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 7\)
- C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 0\)
- D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3\)
Câu 3:
Tìm tập hợp giá trị của m sao cho \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 4} \right)dx} = 5.\)
- A. \(\left\{ 5 \right\}\)
- B. \(\left\{ 5;-1 \right\}\)
- C. \(\left\{ 4\right\}\)
- D. \(\left\{ 4;-1 \right\}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 112 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 112 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 113 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 113 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Bài tập 6 trang 113 SGK Giải tích 12

Bài tập 3.16 trang 170 SBT Toán 12

Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12

Bài tập 3.18 trang 171 SBT Toán 12

Bài tập 3.19 trang 171 SBT Toán 12

Bài tập 3.20 trang 172 SBT Toán 12

Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12