Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 2 Tích phân

Tính các tích phân sau:

a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)                   

b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)

c) \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x(x+1)}dx\)                        

d) \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)

e) \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)                        

g) \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{2}\left | 1-x \right |dx\)                               

b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{2}x dx\)

c) \(\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)                        

d) \(\int_0^\pi  \sin 2x\cos ^2xdx\)

Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\)      (Đặt u= x+1) 

b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (Đặt \(x = sint\) )       (Đặt x = sint )

c) \(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))    

d) \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (Đặt \(x= asint\))   

Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)   ;      

b) \(\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx\)

c) \(\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx\);            ;      

d) \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx\)

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\);        

b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\);

c) \(\int_{1}^{2}\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx\).

Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 - x;

b) Tính tích phân từng phần.

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) \(\int \limits_1^2 x{\left( {1 - x} \right)^5}dx\) (đặt  t = 1−x)

b) \(\int \limits_0^{\ln 2} \sqrt {{e^x} - 1} dx\) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))

c) \(\int \limits_1^9 x\sqrt[3]{{1 - x}}dx\) (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\))

d) \(\int \limits_0^\pi  \frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx\)    (đặt \(x = \pi  - t\))

e) \(\int \limits_{ - 1}^1 {x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}dx\)

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos 2xdx\)

b) \(\int \limits_0^{\ln 2} x{e^{ - 2x}}dx\)

c) \(\int \limits_0^1 \ln (2x + 1)dx\)

d) \(\int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left( {x - 1} \right)} \right] - \ln \left( {x + 1} \right)dx} \)

e) \(\int \limits_{\frac{1}{2}}^2 \left( {1 + x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}}dx\)

g) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos x{\sin ^2}xdx\)

Tính các tích phân sau đây:

a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {x + 1} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)dx\)

b) \(\int \limits_0^1 \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\log _2}\left( {x + 1} \right)dx\)

c) \(\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}dx\)

d) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}\)                                           

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi \(\int \limits_0^x \frac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt,x \in R\) là hàm số chẵn.

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng

\(\int \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = \left\{ \begin{array}{l}
2\int \limits_0^a f\left( x \right)\\
0
\end{array} \right.\)

nếu \(f\) chẵn hoặc \(f\) lẻ.

Áp dụng để tính \(\int \limits_{ - 2}^2 \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx\)

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng

\(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\cos x} \right)dx\)

Đặt \({I_n} = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^n}xdx,n \in {N^ * }.\)

a) Chứng minh rằng \({I_n} = \frac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\)

b) Tính I₃ và I₅

Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:

\(\int \limits_0^{2\pi } \left| {\sin x} \right|dx\)

A. \(\int \limits_0^{2\pi } \sin xdx\)                            

B. \(\int \limits_0^\pi  2\sin xdx\)

C. \(\int \limits_0^\pi  \sin xdx - \int \limits_0^{2\pi } \sin xdx\)    

D. \( - \int \limits_\pi ^{2\pi } 2\sin xdx\)

\(\int \limits_{ - 1}^1 \left| {x - {x^3}} \right|dx\) bằng:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. 2

C. -1

D. 0

\(\int \limits_1^e \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx\) bằng?

A. \( - 1 - \frac{1}{e}\)

B. \(1 - \frac{2}{e}\)

C. \( - 1 + \frac{2}{e}\)

D. 0

\(\int \limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{\sin 2x\sin x}}{2} + {{\cos }^3}x} \right)dx\) bằng

A. 2 

B. \(2\pi \)

C. \(\pi \)$$

D. \(-\pi \)

Đối với tích phân \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx\), thực hiện đổi biến số \(t = \tan x\), ta được:

A. \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} tdt\)

B. \(\int \limits_{ - 1}^0 tdt\)

C. \(\int \limits_0^1 tdt\)

D. \( - \int \limits_0^1 tdt\)

\(\int \limits_0^1 \sin \sqrt x dx\) bằng

A. \(2(\sin 1 - \cos 1)\)

B. \(2(\cos 1 - \sin 1)\)

C. \(\sin 1 - \cos 1\)

D. \(2(\sin 1 + \cos 1)\)

Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:

\(\begin{array}{l}
a)\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx} \\
b)\int \limits_{ - 1}^2 \left| x \right|dx\\
c)\int \limits_{ - 3}^3 \sqrt {9 - {x^2}} dx
\end{array}\)

Cho biết \(\int \limits_1^2 f\left( x \right)dx =  - 4,\int\limits_1^5 {f(x)dx}  = 6,\int\limits_1^5 {g(x)dx}  = 8.\) Hãy tính

\(\begin{array}{l}
a)\int\limits_2^5 {f(x)dx} \\
b)\int\limits_1^2 {3f(x)dx} \\
c)\int\limits_1^5 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} \\
d)\int\limits_1^5 {\left[ {4f(x) - g(x)} \right]dx} 
\end{array}\)

Cho biết \(\int\limits_0^3 {f\left( z \right)dz}  = 3,\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx = 7.\). Hãy tính \(\int \limits_3^4 f\left( t \right)dt.\)

a) Chứng minh rằng nếu \(f(x) \ge 0\) trên [a; b] thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge 0.\)

b) Chứng minh rằng nếu \(f(x) \ge g(x)\) trên [a; b] thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge \int \limits_a^b g\left( x \right)dx\)

a) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1 − 2sin2t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4} \left( s \right)\)

b) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 160 − 10t (m/s). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại. 

Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a = 3t + t² (m/s²). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tang tốc.

Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s. gia tốc trọng trường là 9,8m/s²

a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới vận tốc cao nhất.

b) Tính quãng đường viên đạn đi được tính từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất.

Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^1 \sqrt {x + 1} dx\\
b)\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx\\
c)\int \limits_0^1 {t^3}{\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt\\
d)\int \limits_0^1 \frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx\\
e)\int \limits_0^{\sqrt 3 } \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\\
f)\int \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \left( {1 - \cos 3x} \right)\sin 3xdx
\end{array}\)

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_1^2 {x^5}\ln xdx\\
b)\int \limits_0^1 \left( {x + 1} \right){e^x}dx\\
c)\int \limits_0^\pi  {e^x}\cos xdx\\
d)\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos xdx
\end{array}\)

Tính 

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^1 \sqrt {{t^5} + 2t} \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt\\
b)\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\sin {\rm{xcosx}}dx
\end{array}\)

Tính 

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^\pi  5{\left( {5 - 4\cos t} \right)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt\\
b)\int \limits_0^{\sqrt 3 } \frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}
\end{array}\)

Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\). Khi đó \(\int \limits_1^3 \frac{{\sin 2x}}{x}dx\) là

(A) F(3) − F(1)                 

(B) F(6) − F(2)                

(C) F(4) − F(2)                 

D) F(6) − F(4)   

Chứng minh rằng

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \int \limits_0^1 f\left( {1 - x} \right)dx\\
b)\int \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \int \limits_0^1 \left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx
\end{array}\)

Cho \(\int \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 3.\) Tính \(\int \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\) trong các trường hợp sau:

a) f là hàm số lẻ;                               

b) f là hàm số chẵn.

Tính các tích phân sau:

\(\begin{array}{l}
a)\int\limits_1^2 {{x^2}{e^{{x^3}}}dx} \\
b)\int \limits_1^3 \frac{1}{x}{\left( {\ln x} \right)^2}dx\\
c)\int \limits_0^{\sqrt 3 } x\sqrt {1 + {x^2}} dx\\
d)\int \limits_0^1 {x^2}{e^{3{x^3}}}dx\\
e)\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x}}{{1 + {\rm{sinx}}}}dx
\end{array}\)

Tính các tích phân sau :

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x\cos 2xdx\\
b)\int \limits_0^1 \frac{{\ln \left( {2 - x} \right)}}{{2 - x}}dx\\
c)\int \limits_1^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\cos xdx.\\
d)\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x\cos 2xdx\\
e)\int \limits_1^e {x^2}\ln xdx
\end{array}\)