Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [−a;a], ta có: 

\(\int \limits_{ - a}^a f(x)dx = \int \limits_{ - a}^0 f(x)dx + \int \limits_0^a f(x)dx\)

Đổi biến x = −t đối với tích phân \(\int \limits_{ - a}^0 f(x)dx\), ta được:

\(\int \limits_{ - a}^0 f(x)dx =  - \int \limits_a^0 f( - t)dt = \int\limits_0^a {f\left( t \right)dt = \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} } \)

Vậy \(\int \limits_{ - a}^a f(x)dx = 2\int \limits_0^a f(x)dx\)

Trường hợp sau chứng minh tương tự.

Áp dụng:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
g( - x) = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {{\left( { - x} \right)}^2}} } \right) = \ln \left( {\frac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\\
 =  - \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) =  - g\left( x \right)
\end{array}\)

Nên \(g(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) là hàm số lẻ trên đoạn [−2;2] nên \(\int \limits_{ - 2}^2 g(x)dx = 0\)

-- Mod Toán 12 HỌC247