YOMEDIA

Bài tập 3 trang 113 SGK Giải tích 12

Giải bài 3 tr 113 sách GK Toán GT lớp 12

Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\)      (Đặt u= x+1) 

b)        (Đặt x = sint )

c)     (Đặt u = 1+x.ex)

d)    (Đặt x= asint)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Câu a:

Đặt u= x+1 ta có du =  dx; x2 = (u - 1)2

Khi x = 0 thì u = 1; khi x = 3 thì u = 4. Khi đó :

\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx= \int_{1}^{4}\frac{(u-1)^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}du =\int_{1}^{4}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{\frac{3}{2}}}du\)

\(\int_{1}^{4}(u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{1}{2}}+u^{\frac{3}{2}})du= \int_{1}^{4}u^{\frac{1}{2}}du -2\int_{1}^{4}u^{\frac{1}{2}}du+ \int_{1}^{4}u^{\frac{3}{2}}du\)

\(=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \Bigg| ^4_1-4u^{\frac{1}{2}}\Bigg| ^4_1- 2u\Bigg| ^4_1=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}-(8-4)-2(\frac{1}{2}-1)\)

\(=\frac{14}{3}-3=\frac{5}{3}\)

Câu b:

Đặt x = sint ta có: dx = costdt

Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 1 thì \(t=\frac{\pi }{2}\). Do đó:

\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-sin^2 t}cos tdt\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\left | cos t \right |.cos t dt = \int_{0}^{\frac{\pi }{3}}cos^2 t dt\) (Vì \(cos t \geq 0, \forall t \in \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ]\))

\(\Rightarrow \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2t dt= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} (1+cos 2t)dt\)

\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}dt +\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos 2t dt =\frac{1}{2}t \Bigg|_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{4}sin 2t \Bigg|_0^{\frac{\pi }{2}}\)

\(=\frac{\pi }{4}+0= \frac{\pi }{4}\)

Vậy \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{4}.\)

 

Câu c:

Đặt \(u=x.e^x\) ta có: \(du=(e^x+x.e^x)dx=e^x(x+1)dx\)

Khi x = 0 thì u = 0; khi x = 1 thì u = e

Do đó: \(\int_{0}^{1}\frac{e^x(x+1)}{1+x.e^x}dx=\int_{0}^{e}\frac{du}{1+u}= ln(1+u) \Bigg|^e_0=ln(e+1)\)

Câu d:

Đặt x = a sint ta có: dx = acost dt

Khi x = 0 thì t = 0; khi \(x=\frac{a}{2}\) thì \(t=\frac{\pi }{6}\). Do đó:

\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{acos t dt}{\sqrt{a^2-a^2sin^2t}}\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{a.cost dt}{\left | a cos t \right |}\)

Vì a > 0 và \(cos t \geq 0, \forall t \in \left [ 0; \frac{\pi }{6} \right ]\)

Nên \(\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{a.cos t .dt}{a.cost}= \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}dt =t \Bigg|^{\frac{\pi }{6}}_0=\frac{\pi }{6}\)

Vậy \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{\pi }{6}.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Video hướng dẫn giải bài 3 SGK

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 3 trang 113 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 
  • An An

    Tính tích phân

    Cho \int_{0}^{1} f(x)dx =10 Tính \int_{0}^{3} f(x) dx

     

    Theo dõi (1) 1 Trả lời
  • Co Nan

    Cho p,q > 0 : \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1;u,v\ge0\)

    CHứng minh rằng \(u.v\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\)

    Cho f,g : \(\left[a,b\right]\rightarrow R\) Liên tục và p,q ở câu (a) ta luôn có :
    \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right).g\left(x\right)\right|dx\le\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx\right)^{\dfrac{1}{p}}\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx\right)^{\dfrac{1}{q}}\)

    Theo dõi (0) 2 Trả lời
  • Thiên Mai

    Hãy chon mệnh đề sai dưới đây:(mn chọn rồi giải thích từng đáp án giúp e với ạ, có thể bỏ qua đáp án A , còn đáp án B tại sao x phải >0 ạ , đáp án C e ko chắc lắm nên mn cứ gthich đi ạ, còn đáp án D có phải thêm đk của c không hay như vậy vẫn đúng ạ )

    A. \(\int\limits^1_0x^2dx\ge\int\limits^1_0x^3dx\)

    B. đạo hàm của F(x)= \(\int\limits^x_1\dfrac{dt}{1+t}\) là F'(x)= \(\dfrac{1}{1+x}\) (x>0)

    C.hàm số f(x) liên tục trên \([-a;a]\) thì \(\int\limits^a_{-a}f\left(x\right)dx=2\int\limits_0^af\left(x\right)dx\)

    D.nếu f(x) liên tục trên R thì \(\int\limits^b_af\left(x\right)dx+\int\limits^c_bf\left(x\right)dx=\int\limits^c_af\left(x\right)dx\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Lê Minh Hải

    Cho \(\int_0^2f\left(x\right)=3\). Khi đó kết quả của \(\int_0^2\left[4f\left(x\right)-3\right]dx\)là?

    A. 2

    B. 4

    C. 6

    D. 8

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Bình Nguyen

    tính các tích phân

    1.\(\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{\sin x}\cos xdx\)

    2.\(\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{2\cos x+1}\sin xdx\)

    3,\(\int_1^e\dfrac{e^{2lnx+1}}{x}dx\)

    4.\(\int_0^1xe^{x^2+2}dx\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Tran Chau

    \(\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\tan^2x-\cos^2x}{\sin^2x}dx\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Nguyễn Minh Minh

    tính các tích phân

    1.\(\int_0^1\dfrac{4x+2}{x^2+x+1}dx\)

    2.\(\int_0^1\dfrac{4x+1}{\left(2-x\right)^4}dx\)

    3.\(\int_0^1\dfrac{x^2+1}{\left(x^3+3x\right)^3}dx\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
AMBIENT
?>