YOMEDIA
NONE

Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC

Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC

Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^1 \sqrt {x + 1} dx\\
b)\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx\\
c)\int \limits_0^1 {t^3}{\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt\\
d)\int \limits_0^1 \frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx\\
e)\int \limits_0^{\sqrt 3 } \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\\
f)\int \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \left( {1 - \cos 3x} \right)\sin 3xdx
\end{array}\)

ATNETWORK

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Đặt \(u = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {u^2} = x + 1\)

\(\Rightarrow 2udu = dx.\)

Đổi cận

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^1 {\sqrt {x + 1} } dx = \int\limits_1^{\sqrt 2 } u .2udu\\
 = 2\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}} du = \left. {2.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }\\
 = \frac{2}{3}\left( {2\sqrt 2  - 1} \right)
\end{array}\)

b) Đặt \(u = \tan x \Rightarrow du = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx = \int\limits_0^1 {udu}  = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}\)

c) Đặt \(u = 1 + {t^4} \Rightarrow du = 4{t^3}dt \)

\(\Rightarrow {t^3}dt = \frac{{du}}{4}\)

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt = \frac{1}{4}\int {{u^3}} du\\
 = \left. {\frac{1}{4}.\frac{{{u^4}}}{4}} \right|_1^2 = \frac{1}{{16}}(16 - 1) = \frac{{15}}{{16}}
\end{array}\)

d) Đặt \(u = {x^2} + 4 \Rightarrow du = 2xdx\)

\(\Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\)

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} dx = \frac{5}{2}\int\limits_4^5 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \\
 = \left. {\frac{5}{2}\left( { - \frac{1}{u}} \right)} \right|_4^5 = \frac{1}{8}
\end{array}\)

e) Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1 \)

\(\Rightarrow udu = xdx\)

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = 4\int\limits_1^2 {\frac{{udu}}{u}} \\
 = \left. {4u} \right|_1^2 = 4
\end{array}\)

f) Đặt \(u = 1 - \cos 3x \Rightarrow du = 3\sin 3xdx \)

\(\Rightarrow \sin 3xdx = \frac{1}{3}du\)

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {1 - \cos 3x} \right)} \sin 3xdx\\
 = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {udu}  = \left. {\frac{{{u^2}}}{6}} \right|_0^1 = \frac{1}{6}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON